【研究分野】数学基礎・応用数学

【研究領域課題番号】15K13461 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数値解析 / 解の爆発 / 爆発レート / 領域爆発 / 爆発曲線 / 再爆発現象 / 確率微分方程式 / 関数微分方程式 / スケール不変性 / 爆発解 / 非線型現象 / 微分方程式 / 爆発オーダー / 爆発領域 / 非線形偏微分方程式 / 数値計算法

【研究成果の概要】

微分方程式の解の大きさが有限時間で無限大に発散する現象を爆発現象という。本研究では、これまで研究が進んでいなかった爆発曲線・領域爆発・再爆発現象といった爆発現象に焦点をあて、これに対する数値計算の方法を提案し、これらに対する理論的研究と平行して数値計算を進め、いくつかの予想を立てることが出来た。更に、一部の予想については研究期間内に数学的に証明を行うことができた。

【研究種目】挑戦的萌芽研究

【研究期間】2015-04-01 - 2018-03-31

【配分額】3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】24340022 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率過程 / シミュレーション / 数値解析 / 無限次元解析 / 確率微分方程式 / ジャンプ型モデル / Malliavin解析 / 確率変数 / Multi-levelモンテカルロ方法 / 密度関数 / BSDE / 近似

【研究成果の概要】

確率微分方程式はいろんな応用分野で使われているモデルである。このモデルによって動的にランダムに動く現象に対して説明できる方程式である。理論の観点ではいろんな展開があるが実際の計算を行うためにモンテカルロシミュレーションが必要である。この研究課題がこの設定で展開されている。特に確率微分方程式の係数が非滑らかであるときにシミュレーション方法の提案や数値解析の道具を構築することが目的である。
特にシステムの急な変化によりモデルのパラメーターが急に変化することによって普段使われているシミュレーション方法の制度が悪くなるため、新しい技術が必要であり、この課題でその技術の構築を目指した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2012-04-01 - 2015-03-31

【配分額】9,230千円 (直接経費: 7,100千円、間接経費: 2,130千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】21340024 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ミュレーション / 確率微分方程式 / ジャンプ型モデル / Malliavin解析 / 確率変数 / リスク / 誤差評価 / 非線形 / シミュレーション / 非線形偏微分方程式 / 数値解析 / 確率論

【研究成果の概要】

本研究では、主にMalliavin解析や作用素分解法を使いジャンプ型確率微分方程式解のシミュレーション方法について研究を行った。新シミュレーション方法を発見し、数学的な性質について結果を得た結果、従来の方法に比べ正確で素早く計算できる方法を発見した。また、数理ファイナンスモデルでよく使用されるジャンプ型確率微分方程式は、リスクを計るためにGreeksと呼ばれる量を計算しなければならない。この分野におけるさまざまな無限次元部分積分公式により計算式が得られシミュレーションを行った。アジアン型確率変数に対しての密度関数の下からの評価を得られて、これからフィルテリングに対しての応用を考えています。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2009 - 2011

【配分額】10,010千円 (直接経費: 7,700千円、間接経費: 2,310千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】19204010 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / 確率微分方程式 / マリアバン解析 / ラプラシアン / 拡散過程 / 熱核 / 流体力学的極限 / 数理ファイナンス / ディリクレ形式 / ベッセル過程 / 安定過程 / 多様体 / 一般化逆ガウス分布 / 大偏差原理 / マルコフ連鎖 / フラクタル / 第一固有値 / ウィナー空間 / ラフパス / シュレディンガー作用素 / 数値解析

【研究成果の概要】

代表者,分担者のみならず日本国内の研究者の研究の進展に役立てるため,2件の国際会議を含む研究集会を毎年複数開催して日本内外の研究者の研究連絡,共同研究などを行った.また,海外の研究者の招聘し,さらに研究代表者,分担者,連携研究者が海外の研究集会に参加し,研究者を訪問した.これらの活動を通して,確率解析の理論の発展に寄与し,統計力学に起源をもつ問題,微分方程式論,多様体のスペクトル,数理ファイナンスなどの研究への応用に関する研究成果を得た.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2007 - 2010

【配分額】32,500千円 (直接経費: 25,000千円、間接経費: 7,500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】18340029 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 数理ファイナンス / モンテカルロ法 / 数値解析 / Malliavin解析 / インサイダー取引モデル / market timer現象 / シミュレーション / 制御論 / 確率微分方程式 / 取引費用

【研究成果の概要】

インサイダー取引モデルでは株の値段がジャンプすることを認めるとインサイダーが将来の情報があってもリスクが残ることによって市場の均衡が起こる可能性がある。また、Backモデルの拡張について結果が得られた。確率微分方程式タイプのモデルにも提案した。
確率微分方程式の数値解析では径路方法を構成し、いろんな場合に使えることを期待している。また、密度関数のシミュレーションに対して、分散減少法を作って、その解析ができた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】10,320千円 (直接経費: 8,700千円、間接経費: 1,620千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】13440029 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理ファイナンス / デリバティブ / リスク尺度 / 数値計算 / マリアバン解析 / 自由リー環 / 確率微分方程式 / ルンゲ・クッタ法 / アクチュアリー / 生命保険 / 数値解析 / ファイナンス / リスク / 法則不変 / 多期間モデル / 連続極限 / フィルトレーション / ルンゲ・クッタ / リー環 / 拡散過程 / モンテカルロ法 / アメリカンオプション / ヨーロピアンオプション / 加法過程 / 特性関数

【研究成果の概要】

本研究の目的は、市場が完備でない場合や取引費用、空売り制約、税金などの摩擦要因のある場合に、ヨーロッパ型、アメリカ型をはじめとするデリバティブの価格を金融機関が決定するにあたり、リスク尺度(Risk Measure)に基づくリスク管理という観点から考えればどのようになるかということを研究することにあった。
まず、リスク尺度で金融機関が使いやすいものとして、Artzner-Delbaen-Eber-Heathの提案したコヒーレントなリスク尺度というものがあるが、さらに新しい概念として法則不変(Law Invariant)というものを導入し、法則不変なコヒーレントリスク尺度の分類を行った。
次にデリバティブ価格の計算のために、効率的な数値計算の新手法の研究を行った。
まずアメリカ型のデリバティブの計算方法について、近年、値関数を多項式等で近似するという方法がLongstaff-Schwartzらにより提唱されているが、それらの方法の理論的正当性を証明すると同時に、その理論的限界についても考察した。これの理論的考察により、どのような改良の余地があるかについても明らかにした。
ヨーロッパ型デリバティブの数値計算法については、マリアバン解析に基づく確率微分方程式とリー環を用いた全く新しい方法を導入し、改良を重ねていった。具体的に言うと、まずm-similarなマルコフ作用素の概念を導入し、さらにm-L-similarな確率変数という概念を導入し、昨年度までの近似方法の自由度を大幅に高め、同時に逐次確率積分の代数的な性質についても解明した。また、常微分方程式の近似方法として有効なルンゲ・クッタ法を活用し、m-Similarなマルコフ作用素の具体的構成法やm-L-similarな確率変数の具体型についての研究を行い、実行可能なアルゴリズムの研究を行った。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2001 - 2004

【配分額】11,100千円 (直接経費: 11,100千円)