【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】24540099 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

位相幾何学 / 幾何学的トポロジー / coarse幾何学 / asymptotic次元論 / 埋蔵問題 / 幾何学 / asymptotic次元 / 国際情報交換 / 国際情報研究 / 国際研究者交流 / coarse幾何 / 国際研究者交流（ポーランド） / 国際情報交換（ポーランド）

【研究成果の概要】

Large scale幾何学、特に一般の proper 距離空間のcoarse 幾何学及び CAT(0) 群のHilbert 空間へのcoarse埋蔵問題の研究を開始し、私が研究してきた（対比して）small scale幾何学と呼ばれる従来の位相幾何学の次元論との関わりを明確にすることができた。そこで得られた埋蔵問題の成果をまとめ、主要な幾何的トポロジーの国際研究集会で招待講演を行った。最終年には J. Dydak(アメリカ・テネシー大)、S. Spiez(ポーランド・数学研究所)を招き、早稲田大学でcoarse幾何学を主題とする研究集会を行い、成果のまとめと研究の総括を行った。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2012-04-01 - 2016-03-31

【配分額】5,070千円 (直接経費: 3,900千円、間接経費: 1,170千円)

【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】23340018 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非可換幾何学 / 変形量子化 / シンプレクティック幾何学 / 岩沢理論 / 非可換多様体 / 離散幾何学 / T-双対性 / 一般幾何学 / 超弦理論 / 非可換岩沢理論 / 非可換ゲージ理論 / 国際交流アメリカ / シンプレくティック多様体 / 幾何学 / ループ空間 / ジャーブ / 国際情報交換 / 国際研究者交流 / ベルギー：ベトナム：フランス：オーストラリア / 変形量子化問題 / 多国籍 / ディラック構造 / 複素シンプレクティック幾何学 / 岩澤理論

【研究成果の概要】

数論、代数幾何学、微分幾何学、トポロジー、それに数理物理、素粒子論を中心として、非可換な対象物を扱い、新しい幾何学の流れを構築することを目標に置いている。本研究の特徴は、基軸となる研究である変形量子化問題と非可換幾何学を推進し、これによる微分幾何学の非可換化（量子化）手法を確立させ、それを発展させるというまったく新しい立場からの研究を行うことにある。特に、Non-formal deformation quantizationの手法を用いて、数学および素粒子物理学との融合研究を進め、この分野の国際的なネットワークを構築することを目的としている。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2011-04-01 - 2016-03-31

【配分額】16,510千円 (直接経費: 12,700千円、間接経費: 3,810千円)

【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】21540079 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

４次元多様体 / 写像類群 / Lefschetzファイバー空間 / モノドロミー / 有理ブローダウン / 微分構造 / ファイバー和 / チャート表示 / 4次元多様体 / 超楕円性 / 安定化 / トポロジー / 幾何学 / BLF / 国際情報交換 / アメリカ / 群の表示 / quandle / コサイクル

【研究成果の概要】

多様体の位相幾何学においては、５次元以上のいわゆる高次元の場合よりも、３次元・４次元といった低次元の場合に複雑な現象の現れることが多い。本研究課題は４次元多様体の位相幾何学に関するものである。特に、Lefschetzファイバー空間と呼ばれる、無数の曲面（２次元多様体）が集まって構成されているような４次元多様体を扱っている。それを記述する際に、曲面の写像類群と呼ばれる代数的な対象が重要となる。研究の結果、写像類群のデータを変更すると、Lefschetzファイバー空間がどのように変化するかが非常に詳しく解明された。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2009-04-01 - 2013-03-31

【配分額】4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)

【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】18540094 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ゲージ理論 / 幾何的量子化 / 幾何学 / トポロジー / 国際情報交換 / 中国

【研究成果の概要】

本研究は主に三つの立場で安定ホモトピーSeiberg-Witten不変量とその周辺問題を考察している.第一は安定ホモトピー論の立場による不変量の性質の考察,第二はこの不変量の幾何的な解釈,第三はゲージ理論を離れて指数定理に関連する問題である.
第一については,南範彦氏(名古屋工業大学)などとの共同研究により,連結和に対する安定ホモトピーSeiberg-Witten不変量の消滅定理などを得た.これは既に共同研究で得ている連結和に対する非消滅定理と対照的であり,不変量としてのある種の限界点があることを示している.第二については,スピン4次元閉多様体上のSeiberg-Witten方程式の解空間には自然に同変スピン構造が入り,それから10/8-不等式を自然に導くことができることを示した.更に,既に得られていた10/8-不等式の1次元コホモロジー群上の積構造を加味した場合の改良についてもこの同変スピン構造を平坦接続のモジュライ空間上で考察することにより再証明できることを示した.第三については,研究分担者からGuillemin-Sternber予想を指数の局所化の観点から再証明を与えたという報告を受けた.これはゲージ理論と直接的に関連してはいないが,モジュライ空間におけるこのような考察がゲージ理論の展開へとつながることを期待している.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2006 - 2007

【配分額】2,070千円 (直接経費: 1,800千円、間接経費: 270千円)