【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】15340054 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ナビエ・ストークス方程式 / 初期値問題 / 自由表面 / 群対称性 / 安定性 / 渦糸 / 渦輪 / 特異積分 / パターン形成 / 対称性 / 水面波 / 漸近挙動 / Navier-Stokes方程式 / 自由境界問題 / 漸近形 / パターン形式

【研究成果の概要】

代表者宮川は,2次元と3次元の外部領域における非圧縮粘性流を扱い,流れの時間・空間減衰度と運動方程式の解の対称性の関係を明らかにした.特に2次元外部問題においてほぼ最終的な結果を得た.その研究の副産物として,2次元外部領域での非圧縮完全流体に関するダランベールの逆理と,対応する圧力場の可積分性との間の明確かつ密接な関係を見出した.この方向での3次元流の研究を現在進めている.分担者福本は,粘性渦の運動と形状変化を研究し,非局所誘導モデルを採用して特異摂動の手法をそれに適用し,渦糸や渦輪の位相的形状変化について考察し,渦の安定性に対して渦の曲率等の幾何学的性質がどのように寄与するかという問題に関して新しい知見を得た.分担者菱田は,回転物体の周囲の流れを初めて数学的に厳密に考察し,新しい特異積分作用素のクラスを発見してその詳しい解析を行い,その結果を駆使して,当該問題に対し,定常流と非定常流に関する新しい存在定理を証明した.同時にまた有限個の穴で結ばれた半空間での流れの問題を扱い,非定常流の存在について従来知られた結果を改良した.分担者井口は,気体の1次元運動方程式を考察し,流れの自由境界面の研究から得た知見を応用して,この方程式の新しい解法を見出し,それが従来の方法にくらべて物事の本質により迫るものであって,従ってより広い応用範囲を持つことを示した.この研究は気体の運動方程式を取り扱う際の本質的な難点がどこにあるかを明らかにしたもので,注目に値する.さらに井口は周期的な底をもつ浅い流れの自由表面の形状を,分岐理論を用いて分類した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2003 - 2005

【配分額】15,300千円 (直接経費: 15,300千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】13440050 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

反応拡散方程式系 / パターン形成 / パターンの崩壊 / 解の爆発 / 活性因子,抑制因子 / スポット解の散乱現象 / スパイク解 / 活性因子・抑制因子 / 非常に薄い領域 / 反応拡散系 / 集中現象 / 特異摂動 / 軌道の極限集合 / 半線型楕円型偏微分方程式 / 領域の境界の曲率 / 安定性 / 界面 / 空間的構造

【研究成果の概要】

本研究課題は非線型放物型偏微分方程式の解の挙動の追跡を目指して推進されてきた.
研究代表者はWei-Ming Ni(ミネソタ大学)と鈴木香奈子と共同で,ギーラーとマインハルトによる活性因子-抑制因子型反応拡散系の解の挙動について研究し,次のことを解明した:(i)初期値が定数函数の場合,活性因子がそれ自身を生産する強さが抑制因子の生産を促す強さよりも大きいと,有限時間で爆発する解が存在する.爆発解には,活性因子だけが発散するものと抑制因子も同時に発散するものとがあり,前者は初期値を抑制因子が指定された値に収束するように選ぶことができる.(ii)活性因子の方程式が源泉項を含まない場合,活性因子がそれ自身よりも抑制因子の方を多く生産するならば,どの解も爆発することはない.また,パターンの崩壊,つまり解が原点に収束することが起こり得る.
西浦は,パルス解やスポット解の散乱現象を考察し,分水嶺解と呼ばれる,不安定な定常解または周期解の近傍での局所ダイナミクスと,解軌道の空間的な位置関係により,様々な入出力関係が形成されることを明らかにした.
柳田は,ある準線型放物型方程式に対し,初期値に応じて大域的増大解,進行波解,有限時間消滅解のいずれかに分類されることを示し,その漸近挙動や消滅時刻における解の振る舞いについて調べた.
小薗は,3次元非有界領域において,すべての平方可積分な初期値に対し強エネルギー不等式を満たすナビエ・ストークス方程式の弱解を構成できることを証明した.
反応拡散系の考えを初めて提唱したチューリングの論文が出版されて50年となるのを記念し,パターン形成レクチャーシリーズとして関連分野の講義を実施した.最終年度には研究成果の発表と討論のため国際研究集会「非線型放物型偏微分方程式における空間的構造の自律的形成」を開催した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2001 - 2004

【配分額】14,500千円 (直接経費: 14,500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】12440023 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

反応拡散系 / 興奮-抑制系 / 歪勾配系 / 分岐 / パターン形成 / 固有値問題 / 定常解 / 安定性 / 興奮一抑制 / 自己相似解 / 解の爆発 / 興奮ー抑制系

【研究成果の概要】

反応拡散系に見られる様々な時空間ダイナミクスは,いろいろな自然現象に見られる自発的パターン形成のモデルとなっている.本研究では,解析学的手法と数値的手法を組み合わせて,以下の問題について研究を進めた.
1.shadow systemと呼ばれる縮約系に対して,無限次元力学系の手法を適用して,安定解の空間的単調性を示した.また歪勾配構造をもつ反応拡散系に対し,安定定常解の変分法的特徴付けを得た.
2.ギーラーとマインハルトによって提唱された活性因子・抑制因子型の反応拡散系について,定常解の安定性を調べた.二つの同心球面に囲まれた領域において,抑制因子の拡散係数が無限大になった極限系の定常解のうち,境界上の一点でのみ極大となるものはいずれも適当な条件のもとで安定であることを証明した.
3.反応拡散方程式の定常解は非線形楕円型方程式の解として与えられる.楕円型方程式の正値解の存在は,定常解の構造を理解するに当たってもっとも基本的な問題である.ここでは臨界べきを持つ非線形楕円型方程式の解の存在と分岐について明らかにした.
4.反応拡散系に見られる複雑な時空間パターンのダイナミクスは,パルス状局在解が弱いあるいは強い相互作用をすることによって生じると解釈できるが,そのダイナミクスを漸近的手法を用いて解析する.
5.生物の形態形成における活性化因子--抑制因子モデル方程式、熱対流におけるSwift-Hohenberg方程式などは勾配・歪勾配系の枠組みでとらえ,縞状のパターンには、Eckhaus不安定性とZigzag不安定性の2種類の不安定性が普遍的に観察されることが示された.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2000 - 2002

【配分額】10,100千円 (直接経費: 10,100千円)