【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】17H01095 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

関数方程式 / 非線形 / 散逸 / 特異性 / 偏微分方程式 / 楕円型方程式 / 放物型方程式 / 変分問題 / 分数ブラウン運動 / 臨界指数 / 特異拡散

【研究成果の概要】

2020年度は、非線形楕円型偏微分方程式の解の構造の解明，線形あるいは半線系の放物型偏微分方程式の解の特異性の解明を中心に研究を行った．

楕円型偏微分方程式に関しては，まず円環領域における楕円型方程式の正値球対称解の一意性について研究を深化させた.もとの方程式の解と線形化方程式の解によるある恒等式の改良を行い,そこに現れる比較関数を巧妙に選ぶことにより, あらたな結果を導くことに成功した.また，改良型Hardy不等式及びSobolev不等式の最良定数に付随する最小化問題の非球対称な最小化関数の存在と、Sobolev不等式の次元無限大形について研究を行った．さらにHardy型不等式やポワンカレ不等式の極限形を導出する研究と、非等方な量を持つFinsler Hardy不等式に関する研究も行った．

放物型偏微分方程式に関しては，まずFinsler ラプラシアンを主要部に持つ非線形熱方程式の初期値問題に対する解の存在を考え, 初期値の空間遠方での増大度に関する必要十分条件や時間局所解の存在時間について考察した.次にネットワーク上におけるChafee-Infante問題についての研究を進めた．この問題では2次分岐定常解が存在することが知られている. 非線形項を3次関数としたとき,現れる2次分岐解の非退化性を調べるための条件を楕円関数およびその積分を用いて表したが, これを解析するためには主に表示式の複雑さに起因する困難点があり継続して研究を進めることとした.さらに有界かつ非コンパクト性な軌道をもつ特異かつ変換群不変な力学系に対するラサールの不変原理の拡張と、その半線型放物型方程式への応用を行い，方程式の時間大域解は定常解をプロファイルとする擬進行波の有限個の重ね合わせに漸近することを示した．

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2017-04-01 - 2022-03-31

【配分額】43,940千円 (直接経費: 33,800千円、間接経費: 10,140千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】19204014 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

関数方程式の大域理論 / 非線形 / 拡散 / 放物型 / 楕円型 / 偏微分方程式 / 定性理論 / 反応拡散系 / ダイナミクス / 非線形解析

【研究成果の概要】

非線形放物型および非線形楕円型方程式の解の構造について定性的な研究を行った.主な研究成果は以下の通りである.まず,ある非線形放物型偏微分方程式おける移動特異点を持つ解の存在とその一意性について調べた.また,特異点の強さがある時刻で変性するような解が存在することを明らかにするとともに,特異点が移動しない場合に解の漸近挙動について調べ,特異定常解に収束するための条件について明らかにした.次に,走化性方程式において,1点に凝集することによって自己相似的に爆発する解の構造について明らかにした.さらに, Gierer-Mienhardt系と呼ばれる反応拡散系に対し,パターン形成に関する数理構造を調べるとともに,時間依存する解の挙動について明らかにした

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2007 - 2010

【配分額】47,450千円 (直接経費: 36,500千円、間接経費: 10,950千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】08640175 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形 / 偏微分方程式 / 特異性 / 超局所解析 / シュレデインガー方程式 / 超関数 / 波動方程式 / ポテンシャル

【研究成果の概要】

1.片岡は非線形の演算を許す超関数のクラスとしてフランスのColombeauによるいわゆる一般関数の理論を超局所解析の立場から研究し,富川との共同研究の中で,従来の弱い同値関係のままでは(佐藤超関数の枠内でさえ解を持たないことがわかっている)Levy-溝畑型の方程式を含むほとんどの方程式がColombeau関数内に自明な弱い解をもつことになってしまうが,片岡があらたに導入した弱い同値関係の下ではLevy-溝畑型の方程式は弱い解を持たない事が,周期性などの付帯条件なしにF.B.I.変換を利用して証明することができた.このことは片岡の弱い同値関係が従来のものの本質的な改善になっていることを一層強く示している.
2.堤は非線形波動方程式に関して研究し,非線形シュレデインガー方程式の場合において、解の正則性と非線形性の関係を調べ,シュレデインガー方程式においては,ゲージ不変性が大きな役割を果していることを解明した。そして、ゲージ不変性に関連したある種の対称性を持つ場合には,解の正則性が良くなることを証明した。ここでローレンツ不変性に関連したある種の対称性を持つ非線形性の場合には、解の正則性について特別な結果が成立することが、KlainermanとMachedonの研究により知られていた.
3.谷島は時間によって変化する係数をもつSchrodinger方程式を研究し,基本解の正則性および非正則性に関する結果を得た.
4.長田はDirichlet形式論を使って相互作用をもつ無限次元Weiner過程を構成した.この方法の利点はhard coreポテンシャルやLennard-Jones 6-12ポテンシャルなどの特異ポテンシャルの場合に応用できることである.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1996

【配分額】2,100千円 (直接経費: 2,100千円)