【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】20540016 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / 量子群 / ヤン・バクスター方程式 / セルオートマトン

【研究成果の概要】

非例外型アフィンリー環に付随する量子群のKR加群に、柏原の意味での結晶基底が存在することを証明し、その結晶構造を決定した。また、KRクリスタルが完全結晶になるための条件が予想されていたが、それを肯定的に解決した。KRクリスタルの組合せ論的構造を調べることにより、Shimozono-ZabrockiによるX=K予想を解決した。一方で、艤装配位の母関数にも同様の関係式が成り立つことを示し、X=M予想を非例外型アフィンリー環でランクが十分に大きいときに解決した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2008 - 2010

【配分額】4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】18540030 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / 量子群 / ヤン・バクスター方程式 / 量了群 / セルオートマトン / 可積文系

【研究成果の概要】

研究期間内で主に次のような成果を得た。
1.[アフィン幾何クリスタルについて]柏原正樹氏、中島俊樹氏と共同で、非例外型アフィンリー環に付随して、幾何クリスタルを構成した。これらの幾何クリスタルで超離散極限をとると、従来より知られていた完全結晶の極限に一致することも確認した。さらに、C型を除く幾何クリスタルに対応して、トロピカルR写像というヤン・バクスター方程式を満たす双有理写像の具体形を求めた。
2.[非例外型の場合のKR加群の結晶基底の存在]アフィン量子群の有限次元表現のうち最高ウェイトがレベルO基本ウェイトの整数倍のもの(KR加群)は結晶基底をもつだろうという予想があったが、アフィンリー環の型が非例外型の場合にこの予想を解決した。また、海外共同研究者のSchilling氏は、B^<(1)>_n型、D^<(1)>_n型、および、A^<(2)>_<2n-1>型の場合に組合せ論的に定義されたクリスタルをもっていたが、このクリスタルと表現論的に存在が証明されたクリスタルが同型であることも示した。
3.[例外型アフィンリー環に付随する完全結晶の連接族の構成]柏原正樹氏、海外共同研究者のMisra氏、山田大輔氏と共同で、例外型アフィンリー環D^<(3)>_4の完全結晶のクリスタル構造をすべてのレベルで座標表示により具体的に表示した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2006 - 2007

【配分額】3,850千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 450千円)

【研究分野】数理物理・物性基礎

【研究領域課題番号】15540363 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / 可解格子模型 / ヤン・バクスター方程式 / ベーテ仮説 / 量子群 / 結晶基底 / 超離散 / 箱玉系 / ソリトン / セルオートマトン

【研究成果の概要】

量子群の結晶基底に付随する1次元可積分セルオートマトンとそれに関連する諸問題について,大きな進展を達成できた.
3年間で得られた成果(1)-(6)の概要を以下に述べる.
(1)D型のトロピカルRについて,双線形形式を見出し,DKP階層のタウ関数がその解となることを証明した.系統的な退化により,C型やねじれA型のアフィンリー環についても同様の結果を得た.
(2)箱の容量の大きいセルオートマトンについて,時間発展を対生成・消滅する粒子・反粒子系の運動として明示的なアルゴリズムで記述することに成功した.
(3)パラメーターqが0のとき箱玉系になるような量子的力学系を頂点模型の極限操作から構成した.量子的時間発展を粒子の種類ごとの運作用素に因子化し,2種類のノルムを導入してその性質を調べた.
D型の場合についても同様の結果を得た.
(4)反射壁のある箱玉系を構成した.ソリトンの自由度を抽出し,散乱規則,反射規則を明らかにした.境界可積分条件の解を見出し,トロピカル化した設定で反射方程式を証明した.
(5)フェルミ公式の証明の核となるKKR全単射について,結晶基底の組み合わせRだけを用いた記述を得た.
非例外型の全てのKKMクリスタルについても同様の予想を得た.これは箱玉系の逆散乱形式に相当する.
(6)周期箱玉系をKKMクリスタルやA型のKRクリスタル一般に拡張し,状態数と一般周期公式の予想を得た.
A型で最も簡単な場合にはq=0とq=1のベーテ仮説を組み合わせることにより,初期値問題を逆散乱法により完全に解くことに成功した.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2003 - 2005

【配分額】1,900千円 (直接経費: 1,900千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】14540026 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / 量子群 / ヤン・バクスター方程式 / セルオートマトン

【研究成果の概要】

1.幾何クリスタル
BerensteinとKazhdanによって公理的に導入された幾何クリスタルをカッツ・ムーディーリー環のタイプがD^(1)_n型の場合に具体的に構成した。また、この幾何クリスタルの行列実現を用いて、積上で幾何クリスタルの作用と交換する双有理写像(トロピカルR)を明示的に構成し、それがヤン・バクスター方程式を満たすことを示した。幾何クリスタルは対応するリー環のディンキン図の各頂点に付随して存在すると考えられている。D型のディンキン図にはn個の頂点があるので、それぞれに応じて幾何クリスタルがあると予想されるが、最終年度、京都大学数理解析研究所の柏原正樹氏と協力してk=2の場合の幾何クリスタルをMathematicaで計算した。データは膨大で紙に書き出せる状態ではないが、これらを意味のある形で書き下すことはk=3以上の場合への拡張とともに今後の課題となる。
2.例外型アフィンリー環に付随するクリスタルおよびソリトンセルオートマトン
例外型アフィンリー環D_4^(3)型の有限クリスタルの一系列について座標表示を与え、また0作用を具体的に表示した。さらに、このクリスタルに付随してセルオートマトンを構成し、そこに現れるソリトンの内部自由度、2つのソリトンが散乱する際の内部自由度の変化を決定した。
3.反射壁のある箱玉系
重要な超離散可積分系の例である箱玉系を反射壁がある場合へと拡張した。これは通常の箱玉系同様、無限個の互いに可換な時間発展とそれに付随する保存量をもつことが示された。また、ソリトン状態を然るべく定義し、1ソリトンの反射則や2ソリトンの散乱則をクリスタルの組合せ論の言葉で記述した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2002 - 2004

【配分額】4,000千円 (直接経費: 4,000千円)