【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】17K14199 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / セルオートマトン / 偏差分方程式 / 組合せ論 / 超離散化 / トロピカル代数 / マトロイド / 離散凸性 / 力学系

【研究成果の概要】

超離散差分方程式と呼ばれるmax-plus代数系上の差分方程式系とそれに関連するセルオートマトンモデルの持つ性質について研究を行なった。
Laurent性を持つ差分方程式の超離散対応物に関する初期値問題の計算方法について、我々のこれまでの結果を進めてより高階の常差分方程式にも適用できる形に拡張した。また行列式の超離散対応物と考えられる付値マトロイドの組み合わせ論的性質に着目して、ある超離散偏差分方程式の解の証明を行なった。
また超離散方程式で表されるあるセルオートマトンについて、その力学系的な性質に着目することで十分に時間が経ったあとの系の挙動について説明を行い、系の持つ不思議な現象を説明した。

【研究の社会的意義】

ある種の超離散常差分方程式に対して初期値問題を計算するアルゴリズムを開発した際に、結果から超離散系に移行して初めて発生する現象に対して説明が与えられた。これより差分方程式系と超離散系の違いについて、ある角度から説明を与えることができた。
またマトロイドと呼ばれる組合せ論的な性質をもつ対象がどのように可積分方程式と関わるのかについて知見を得た。
セルオートマトンの解析手法についても新たな方法を提案した。この方法は力学系における手法の超離散対応物と考えることができる。これは一般の写像力学系では実現不可能なもので超離散だから実現できたものである。

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2017-04-01 - 2021-03-31

【配分額】4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】24654028 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / セルオートマトン / ソリトン / 超離散化 / 保存量 / 非線形波動 / 差分方程式 / 束 / 確率モデル / デジタル / パターン / 超離散化手法（アメリカ）

【研究成果の概要】

離散度合いの異なる非線形に対する共通の数学的解析手法を提案することを目指した．具体的な成果としては，(1)初等的セルオートマトンの時間発展方程式を束演算によって表現し，その初期値問題を解くことによって厳密な一般解を提出した．(2)多近傍セルオートマトンで表される粒子系に対して初期値問題を厳密に解いた．また，高次保存量を有する系を1次保存量を有する系に還元して解析を行った．(3)(2)で得られたいくつかの系に対して保存量を壊さずに確率変数を導入し，基本図の理論式を厳密に導出した．

【研究種目】挑戦的萌芽研究

【研究期間】2012-04-01 - 2015-03-31

【配分額】3,510千円 (直接経費: 2,700千円、間接経費: 810千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】24540204 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / 離散可積分系 / 超離散可積分系 / セルオートマトン / ソリトン現象

【研究成果の概要】

従属変数を含めて，すべての変数が離散的な値をとる「超離散可積分系」という特殊な離散的力学系を研究し，それらに適用できる新しい解法を発見した．
特に，厳密解が知られていない「超離散sine-Gordon方程式」という方程式を整数上で解くことに成功し，有名なKdV方程式の超離散版における初期値データに組合せ論的な解釈を加えることができた．
さらに，超離散化前の段階における可積分系に対しては，高次元の離散可積分系の新しい構築法を開発し，低次元の離散的力学系の可積分性を見極めるための新しい判定法を提唱した．

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2012-04-01 - 2015-03-31

【配分額】4,940千円 (直接経費: 3,800千円、間接経費: 1,140千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】21540210 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / セル・オートマトン / 超離散系 / 離散系 / セルオートマトン

【研究成果の概要】

連続可積分系の適当な離散化で得られる「離散可積分系」という特別な離散的力学系の対称性を考察することにより,その離散系と密接な関係を持つ「超離散可積分系」という特殊なセル・オートマトンの対称性を解明し,可積分なセル・オートマトンの代表的な例である「超離散KdV方程式」の新しい解法を発見した。更に,離散可積分系の分類を行い,様々な離散可積分系の間の関係を解明し,低次元の場合には,既知の離散可積分系と類似の幾何学的な構造をもつ新しい可積分系をいくつか構成することに成功した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2009 - 2011

【配分額】4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】21340034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

セルオートマトン / 超離散系 / 可積分系 / 箱玉系 / 有限体 / トロピカル曲線 / 特異値閉じ込め / トロピカル / ソリトン

【研究成果の概要】

超離散系とは連続的な方程式から極限操作によって導かれるセルオートマトン系である．可積分性を持つと考えられる超離散系を研究し，(1) 典型的な超離散可積分系である箱玉系の相関関数を求めた，(2)超離散KdV方程式において負のソリトンと呼ばれる特殊な解の構造を明らかにした，(3)超離散パンルヴェ系の解を符号付超離散化により求め，分割数に関する一連の公式を得た，(4)有限体上の可積分系はAGR(almost good reduction)と呼ぶ性質を持つことを示した．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2009-04-01 - 2013-03-31

【配分額】15,730千円 (直接経費: 12,100千円、間接経費: 3,630千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】20540016 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / 量子群 / ヤン・バクスター方程式 / セルオートマトン

【研究成果の概要】

非例外型アフィンリー環に付随する量子群のKR加群に、柏原の意味での結晶基底が存在することを証明し、その結晶構造を決定した。また、KRクリスタルが完全結晶になるための条件が予想されていたが、それを肯定的に解決した。KRクリスタルの組合せ論的構造を調べることにより、Shimozono-ZabrockiによるX=K予想を解決した。一方で、艤装配位の母関数にも同様の関係式が成り立つことを示し、X=M予想を非例外型アフィンリー環でランクが十分に大きいときに解決した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2008 - 2010

【配分額】4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】18540030 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / 量子群 / ヤン・バクスター方程式 / 量了群 / セルオートマトン / 可積文系

【研究成果の概要】

研究期間内で主に次のような成果を得た。
1.[アフィン幾何クリスタルについて]柏原正樹氏、中島俊樹氏と共同で、非例外型アフィンリー環に付随して、幾何クリスタルを構成した。これらの幾何クリスタルで超離散極限をとると、従来より知られていた完全結晶の極限に一致することも確認した。さらに、C型を除く幾何クリスタルに対応して、トロピカルR写像というヤン・バクスター方程式を満たす双有理写像の具体形を求めた。
2.[非例外型の場合のKR加群の結晶基底の存在]アフィン量子群の有限次元表現のうち最高ウェイトがレベルO基本ウェイトの整数倍のもの(KR加群)は結晶基底をもつだろうという予想があったが、アフィンリー環の型が非例外型の場合にこの予想を解決した。また、海外共同研究者のSchilling氏は、B^<(1)>_n型、D^<(1)>_n型、および、A^<(2)>_<2n-1>型の場合に組合せ論的に定義されたクリスタルをもっていたが、このクリスタルと表現論的に存在が証明されたクリスタルが同型であることも示した。
3.[例外型アフィンリー環に付随する完全結晶の連接族の構成]柏原正樹氏、海外共同研究者のMisra氏、山田大輔氏と共同で、例外型アフィンリー環D^<(3)>_4の完全結晶のクリスタル構造をすべてのレベルで座標表示により具体的に表示した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2006 - 2007

【配分額】3,850千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 450千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】18540204 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / 超離散極限 / セルオートマトン / 離散系

【研究成果の概要】

連続の力学系に対して新しい離散化手法を考案し、その手法の結果で得られた離散系とセルオートマトンの性質をもとの連続系の振る舞いと関連づけることに成功した。特に、提案した離散化手法の妥当性を計るため、様々な自然現象を記述する連続模型の離散化を行ない、それぞれの模型に対応する離散系から、「超離散化」と呼ばれているテクニックによって適切なセルオートマトンを系統的に構成し、これらのセルオートマトンの示す挙動がもとの自然現象に類似しているものであることを示した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】4,090千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 690千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】18560065 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / 離散可積分系 / 超離散 / 離散力学系 / 差分方程式 / 交通流 / セルオートマトン / 最適速度モデル / 可積分 / 超離散化 / アトラクタ

【研究成果の概要】

本研究の主な成果は以下の通りである。(1) 2つの保存量を持つ3階の可積分差分方程式が、2階の可積分差分方程式であるQRT系のペアから構成されることを示した。(2) 2階の可積分差分方程式であるQRT系から、明示的なリャプノフ関数を持つ差分方程式系を構成した。(3) QRT系と周期を持つ変換を組み合わせることによって、高次の保存量を持つ2階の差分方程式を構成する方法を提案した。(4) 交通流モデルとして知られる最適速度モデルの離散化、超離散化に成功した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】3,210千円 (直接経費: 2,700千円、間接経費: 510千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】16740088 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / パンルヴェ方程式 / 差分方程式 / 離散力学系 / セルオートマトン

【研究成果の概要】

本研究は「パンルヴェ方程式を無限次元可積分系のリダクションとして捉え、パンルヴェ方程式の解を佐藤理論における『タウ』関数と結び、リダクションに与えられる方程式のすべての対称性を得る。離散パンルヴェ方程式を体系的に構成し、それらの様々な性質を考察すること」を目的とし、それに関して本年度は以下の研究成果を得た。
1.離散パンルヴェ方程式の体系的な構成に関連して、「非対称QRT写像」と呼ばれている離散可積分系から構成できる離散パンルヴェ方程式の研究を行った。特に、非対称QRT写像の分類した後、各写像のde-autonomization(非自律化)に与えられる離散パンルヴェ方程式の性質と特徴を考察した。一つの特別な非対称QRT写像の場合には、写像の非自律化によって新しい離散パンルヴェ方程式が得られた。この方程式の最大の非自律的な拡張やその拡張の代数的な特徴づけは今後の重要な研究課題であると思われている。
2.連続の可積分系に関して、KR階層のリダクションとして得られた1+1次元可積分系のsymmetriesを生成するrecursion operatorやそれに対応するbi-Hamiltonian表現を与える構成的方法を提案し、この方法をいくつかの実例に適用した。
3.連続可積分系の可積分な離散化を行うときに有効である有理写像の構成方法を人体における免疫反応を記述する連続模型に適用した。この方法で得られた離散力学系のシミュレーションにより、提案された免疫反応の模型が示すdynamicsを分析し、模型に現れるパラメータが適当な値をとるとき、離散系と連続系がどちらもlimit cycleを持つことを示した。さらに、この方法で得られた有理写像の超離散化により、連続模型に対応するセルオートマトンを構成し、このセルオートマトンにもlimit cycleが存在することを示した。これらの結果を発表する論文は現在印刷中である。

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2004 - 2006

【配分額】3,400千円 (直接経費: 3,400千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】16204009 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

離散可積分系 / 超離散可積分系 / セルオートマトン / 箱玉系 / 量子代数 / 可解格子模型 / トロピカル幾何 / 戸田方程式 / 可積分系 / 離散系 / 超離散系 / クリスタル / 逆超離散化 / セルオートマン

【研究成果の概要】

変数が離散的な方程式,量子力学的な格子模型,とりうる値まで離散的な力学系であるセルオートマトン(超離散系)のうちで,「可積分系」と呼ばれ,厳密解や統計的性質を解析的に表現できるものがある.本研究はこうした離散可積分系の,数理構造を研究し,特に「箱玉系」と呼ばれる超離散系の数理構造を明確にした.箱玉系は箱から箱へ玉を移動させる一種のゲームとして実現される力学系であるが,(i)ソリトン解をもつ,(ii)十分にたくさんの保存量をもつ,(iii)初期値問題が解ける,など,ソリトン方程式に良く似た性質を持っている.また,(iv)ソリトンの散乱がYang-Baxter関係式を満たす,(v)状態空間をある量子代数のq→0での表現(crystal)とみなすことができ,時間発展規則を表現のinter twinerで記述できる,など,組み合せ論的な性質も持つ.この系に対して,特に初期値問題を初等的な組合せ論的手法,超楕円函数に付随するヤコビ多様体上の線形流への変換,KKR全単射による解法,KdV方程式の超離散化を用いる手法など様々な手法で解くことによって,他の数学的な対象(組合せ論的対象,ワイル群,表現論など)との関係が明らかになった.たとえば,一般化された箱玉系の保存量は経路による表現を持つが,経路を決定する作用は一般化されたワイル群の作用と考えることもできる.また,可解格子模型との関係では,転送行列の固有値が箱玉系の基本周期を与えることや,ベーテ仮設方程式のストリング仮説が,箱玉系の保存量によって特徴づけられることを示した.このほかにも,量子系の相関関数や,超離散系の基本的な問題,それらの交通流などへの応用にも大きな進展があった.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2004 - 2007

【配分額】41,600千円 (直接経費: 32,000千円、間接経費: 9,600千円)

【研究分野】数理物理・物性基礎

【研究領域課題番号】15540363 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / 可解格子模型 / ヤン・バクスター方程式 / ベーテ仮説 / 量子群 / 結晶基底 / 超離散 / 箱玉系 / ソリトン / セルオートマトン

【研究成果の概要】

量子群の結晶基底に付随する1次元可積分セルオートマトンとそれに関連する諸問題について,大きな進展を達成できた.
3年間で得られた成果(1)-(6)の概要を以下に述べる.
(1)D型のトロピカルRについて,双線形形式を見出し,DKP階層のタウ関数がその解となることを証明した.系統的な退化により,C型やねじれA型のアフィンリー環についても同様の結果を得た.
(2)箱の容量の大きいセルオートマトンについて,時間発展を対生成・消滅する粒子・反粒子系の運動として明示的なアルゴリズムで記述することに成功した.
(3)パラメーターqが0のとき箱玉系になるような量子的力学系を頂点模型の極限操作から構成した.量子的時間発展を粒子の種類ごとの運作用素に因子化し,2種類のノルムを導入してその性質を調べた.
D型の場合についても同様の結果を得た.
(4)反射壁のある箱玉系を構成した.ソリトンの自由度を抽出し,散乱規則,反射規則を明らかにした.境界可積分条件の解を見出し,トロピカル化した設定で反射方程式を証明した.
(5)フェルミ公式の証明の核となるKKR全単射について,結晶基底の組み合わせRだけを用いた記述を得た.
非例外型の全てのKKMクリスタルについても同様の予想を得た.これは箱玉系の逆散乱形式に相当する.
(6)周期箱玉系をKKMクリスタルやA型のKRクリスタル一般に拡張し,状態数と一般周期公式の予想を得た.
A型で最も簡単な場合にはq=0とq=1のベーテ仮説を組み合わせることにより,初期値問題を逆散乱法により完全に解くことに成功した.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2003 - 2005

【配分額】1,900千円 (直接経費: 1,900千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】14540026 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / 量子群 / ヤン・バクスター方程式 / セルオートマトン

【研究成果の概要】

1.幾何クリスタル
BerensteinとKazhdanによって公理的に導入された幾何クリスタルをカッツ・ムーディーリー環のタイプがD^(1)_n型の場合に具体的に構成した。また、この幾何クリスタルの行列実現を用いて、積上で幾何クリスタルの作用と交換する双有理写像(トロピカルR)を明示的に構成し、それがヤン・バクスター方程式を満たすことを示した。幾何クリスタルは対応するリー環のディンキン図の各頂点に付随して存在すると考えられている。D型のディンキン図にはn個の頂点があるので、それぞれに応じて幾何クリスタルがあると予想されるが、最終年度、京都大学数理解析研究所の柏原正樹氏と協力してk=2の場合の幾何クリスタルをMathematicaで計算した。データは膨大で紙に書き出せる状態ではないが、これらを意味のある形で書き下すことはk=3以上の場合への拡張とともに今後の課題となる。
2.例外型アフィンリー環に付随するクリスタルおよびソリトンセルオートマトン
例外型アフィンリー環D_4^(3)型の有限クリスタルの一系列について座標表示を与え、また0作用を具体的に表示した。さらに、このクリスタルに付随してセルオートマトンを構成し、そこに現れるソリトンの内部自由度、2つのソリトンが散乱する際の内部自由度の変化を決定した。
3.反射壁のある箱玉系
重要な超離散可積分系の例である箱玉系を反射壁がある場合へと拡張した。これは通常の箱玉系同様、無限個の互いに可換な時間発展とそれに付随する保存量をもつことが示された。また、ソリトン状態を然るべく定義し、1ソリトンの反射則や2ソリトンの散乱則をクリスタルの組合せ論の言葉で記述した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2002 - 2004

【配分額】4,000千円 (直接経費: 4,000千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】12440046 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

超離散系 / 可積分系 / セルオートマトン / 可解格子構造 / クリスタル / トロピカル / 可解格子模型 / 箱玉系 / 超散系

【研究成果の概要】

1.周期箱玉系(A_1^<(1)>型)の基本周期の系のサイズN→∞での漸近的な振る舞いを決定した。周期箱玉系の「可積分性」を反映し、その軌道は系の位相空間における体積(exp[N])よりもはるかに小さな領域に限定されている。最大の基本周期は(exp[N^<1/2>])程度であるが、ほとんどすべての初期値に対して、基本周期はexp[(log N)^2]以下であることを証明した。
2.affine Lie代数D_n^<(1)>に対する(BerensteinとKazhdanにより提唱された意味での)幾何学的クリスタル(geometric crystal)を構成した。スペクトルパラメータを含む行列による実現に基づいて、幾何学的クリスタルのテンソル積をintertwineする双有理変換-トロピカルR行列--を具体的に構成し、その唯一性を証明した。トロピカルR行列は幾何学的Kashiwara operatorsと可換であり、Yang-Baxter関係式を満たす。それは加法の逆演算を持たず、超離散系のクリスタルに対する組み合わせ論的R行列の局所線形方程式を生み出すことがわかった。
3.B_n^<(1)>,D_n^<(1)>,A_<2n>^<(2)>およびD_<n+1>^<(2)>に対する組み合わせ論的R行列を構成した。この組み合わせ論的R行列をボルツマンウエイトとするクリスタル格子における、ソリトンの散乱則をワイル群の作用として表現した。さらに、半無限クリスタル格子系に対して分配関数を考え逆散乱法の箱玉系版と呼ぶにふさわしいと思われるアプローチ(散乱データ,順,逆散乱マップ等)がクリスタルで定式化できることを示した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2000 - 2003

【配分額】13,600千円 (直接経費: 13,600千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】11555023 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ソリトン / 超離散 / 差分方程式 / セルオートマトン / 交通流 / 箱玉系 / デジタル / パターン形成 / 超離散化 / 交通流モデル / 反応拡散系 / 再帰方程式 / max-plus方程式 / バーガーズ方程式 / 可積分系 / 可積分 / クリスタルベース

【研究成果の概要】

超離散化は,exp型の非解析的極限を差分方程式に適用し,従属変数の離散化を行うという手法である.この手法と微分方程式の差分化手法を組み合わせると,微分方程式から差分方程式,そして超離散化方程式という一連の離散化が可能になる.本研究は,この離散化手法を具体的な方程式にあてはめ,どのような応用が可能かを探る研究である.その具体的な成果は以下の通りである.
まず,バーガーズ方程式の線形化可能構造を壊さずに,差分化そして超離散化することにより,交通流のモデルの基礎となるルール番号184のセルオートマトンを得ることに成功した.そして,このセルオートマトンを拡張することにより現実の交通流の渋滞形成を再現するモデルを得ることに成功した.
次に超離散化手法が基盤としているマックス-プラス代数を応用することにより,反応拡散系などのパターン形成系のメカニズムを再現できるデジタル方程式を提案することに成功した.この方程式から,ターゲットやスパイラルなどのパターンがどのような数学的表現により実現されるかが明確になり,パターン形成理論に対して新しい知見をもたらすことができた.
さらに,再帰系などの2階の非線形差分方程式の超離散化を行い,その解構造を調べた.これら系の解は一般に楕円関数で表現することができる.超離散化を行うと,解はmod関数に似たふるまいをすることが分かった.そこで,なぜそのような解の振る舞いが生じるのかを,力学系理論の観点から調べ,明示的な解構造を得ることに成功した.この成果は力学系理論に対して新しい寄与をなすと考えられる.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1999 - 2002

【配分額】6,900千円 (直接経費: 6,900千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】06302034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ソリトン / 可積分系 / QR法 / セルオートマトン / 逆散乱法 / 戸田方程式 / ボルテラ系 / システム理論 / 数列の加速

【研究成果の概要】

本研究の目的は工学とくに応用数理の分野でソリトン理論の積極的な応用をはかり、新しい視点を加えることによって、工学の発展に寄与することである。主な研究対象について以下の成果を得た。
(1)数値解析の分野:離散ソリトン方程式と行列の固有値問題を解くLR法やQR方との関連について考察を加え、その数理的構造を明らかにした。とくに、離散ソリトン方程式ののもつ対称性がLR法との関連から抽出されたのは一つの成果である。また、加速法や外挿公式との関連も調べ、新しい方法を提案した。
(2)数理工学の分野:線形システム理論・数理計画法におけるKarmarkerの力学系・情報幾何学とソリトン理論の関連性を、とくに戸田方程式の解に依拠して考察し、タウ関数の重要性を指摘した。また、離散パンルヴェ方程式の解と戸田方程式の解が密接に関係していることも明らかにした。
(3)情報関連の分野:ソリトンセルオートマトンの構造を明らかにした。とくに、超離散という概念を導入し、連続系である非線形微分方程式と離散系であるセルオートマトンを直接関係づけることに成功した。また、離散電気回路におけるソリトン貯蔵とソリトン圧縮について新しい知見を得た。
(4)構造解析の分野:量子スピン系における可積分の概念を利用して、光励起子のストリング解が存在する可能性を示した。生体をはじめとするさまざまな対象に対する逆問題の適用。
この研究に関連して「ソリトン理論とその応用」と題する研究集会を平成7年11月9日から11日まで総合研究大学院大学で開催し、75名あまりの参加を得た。

【研究種目】総合研究(A)

【研究期間】1994 - 1995

【配分額】5,400千円 (直接経費: 5,400千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】05750069 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ソリトン / セルオートマトン / 可積分系

【研究成果の概要】

本研究においては、本研究代表者によって既に発見されたセルオートマトン型のソリトン系の代数構造の解明、および、系の拡張が主要なテーマであった。まず、代数構造に関しては、無限個の保存量の陽な表現を見つけることができた。この表現から、系がスタック順列、カタラン数などと深い関連があることが明らかになり、ソリトン系と組み合わせ理論との新しいつながりを提出することができた。また、系の時間発展を記述する整数変数の差分方程式を提出した。この方程式は非線形性を絶対値関数で表したものであり、従来の広田の双線形形式に帰着しない新しいタイプの方程式である。以上の成果は、ソリトン理論に関する新しい知見となっている。
次に、系の拡張に関しては、箱と球という単純な構成要素で系を表現できたことがきっかけとなった。これにより、箱の容量を大きくする系、球に番号を付加する系、双方向に移動する球を導入する系が発見された。そして、それら系がすべて厳密な意味でのソリトン系であることが、数学的証明および数値実験によって示された。また、拡張同士を混合した系もソリトン系なることがわかった。特に、球に番号を付加する拡張系については、まだ一般的な数学的証明を見つけていないが、その初期値問題が結び目理論における不変量と関係があるらしいということについて、いくつかの手がかりを得ることができた。
以上の成果は、いくつかの学会で発表され、論文で公表された。得られた成果によって系の代数構造を完全に解明できたわけではなく、セルオートマトン理論へのソリトン理論へのさらなる枠組みの拡張の可能性は大いに残されている。そして、今後、得られた成果が、通信や符号理論へのソリトン系の応用の手がかりになることが期待される。

【研究種目】奨励研究(A)

【研究期間】1993

【配分額】800千円 (直接経費: 800千円)