【研究分野】数学基礎・応用数学

【研究領域課題番号】26287024 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

パターン形成 / 反応拡散系 / 自由境界問題 / 特異極限法 / 進行波解 / スパイラル / パターンダイナミクス / 特異極限 / 応用数学 / 全域解 / 特異極限問題 / 国際研究者交流（台湾，フランス，アメリカ）

【研究成果の概要】

反応拡散系などの非線形偏微分方程式系の形状のある解を捉えるために，境界の方程式と場の方程式により構成される「反応界面系」という枠組みを導入した．この方程式系は，特異極限問題から得られる自由境界問題の一種である．その方程式系の多次元進行波解の存在証明や1次元解のダイナミクスを調べることに成功した．また，異方的な外力をもつ平均曲率流問題では，異方性のパラメータが形状にもたらす影響を調べることにも成功した．多次元の形状を数理的に調べる手法として，多層化方程式の概念の導入にも成功した．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2014-04-01 - 2018-03-31

【配分額】16,510千円 (直接経費: 12,700千円、間接経費: 3,810千円)

【研究分野】ソフトコンピューティング

【研究領域課題番号】25540108 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形ダイナミクス / 複雑ネットワーク / 自己組織化 / ネットワーク / 結合力学系 / 摂動理論 / ラプラシアン / 反応拡散系 / パターン形成

【研究成果の概要】

本研究では、複雑ネットワークを介して相互作用する自律ダイナミクスを持つ要素集団における自己組織化現象の探求とメカニズムの解明、またその最適化や制御手法について解析した。研究期間中、ネットワーク上の反応拡散系におけるTuring不安定性およびパターン形成の解析とその種々の数理モデルへの一般化、ネットワーク結合振動子系の集団ダイナミクスの応答解析や外部ノイズによる同期の制御手法、ネットワーク上の拡散現象を記述するLaplacian行列の固有ベクトルの局在性に関する研究などを行った。研究成果については、論文を国際学術誌に出版するとともに、国内外での学会や研究会で発表した。

【研究種目】挑戦的萌芽研究

【研究期間】2013-04-01 - 2017-03-31

【配分額】3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】22340022 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

散逸系 / 局在パターン / 非局所効果 / 反応拡散系 / パターン形成 / 安定性解析 / 分岐解析 / 非線形偏微分方程式 / 非局所方程式 / FitzHugh-Nagumo方程式 / 分解解析 / ギンツブルク・ランダウ方程式 / 保存性のある反応拡散系 / 線形化固有値問題 / 分岐解 / 解の安定性 / 変分構造 / 分岐理論 / 退化分岐点 / 超伝導の数理モデル / 大域的分岐構造 / 超伝導モデル / 動的パターン

【研究成果の概要】

様々な空間的パターンを記述する反応拡散系に代表される散逸系のモデル方程式において，パターン形成に対応する空間的構造をもった解の存在や安定性が研究されている．今回の研究では，局在パターンとよばれるある領域に拡散物質が集中化する現象において，モデル方程式のもつ非局所的効果の役割を数学的に研究し，その数理的メカニズムを明らかにした． 具体的には，２つの未知変数の積分量の和が保存される反応拡散系において，局在パターンを表す定常解の安定性が積分項による非局所効果に依存していることを数学的に証明した．さらにその手法を他のモデル方程式の研究にも応用し，安定性に関する新しい知見を与えた．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2010-04-01 - 2014-03-31

【配分額】12,740千円 (直接経費: 9,800千円、間接経費: 2,940千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】18540191 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形現象 / 数理生態学 / パターン形成 / 非線形光学 / 変分問題 / 最適化問題 / 非線形楕円型偏微分方程式 / 反応拡散系 / ソボレフ空間 / コンパクト埋め込み定理 / 非線形楕円型境界値問題 / ギーラー・マインハルト系 / コンパクト埋め込み / 特異摂動問題 / 非線形シュレディンガー方程式 / 放物型偏微分方程式 / 内在的超縮小性 / 固有値 / スペクトラルギャップ / 熱核 / ギンツブルグ・ランダウ方程式 / 非線形楕円型方程式

【研究成果の概要】

非線形現象の数理(特に, パターン形成における環境効果の果たす役割, 対称性の崩れ現象など)を非線形偏微分方程式の解析を通して理解・解明したいという動機のもと, 数理生態学に現れるアレン・カーン方程式, ギーラー・マインハルト系などの反応拡散方程式系の定常解, 非線形光学現象に現れる非線形シュレディンガー方程式など種々の非線型楕円型変分問題の解の構造の研究や関連して無限次元の最適化問題を中心テーマとして研究を行った.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】3,800千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 600千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】18204010 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

反応拡散方程式 / 活性因子-抑制因子系 / 進行波解 / 非一様な媒質 / 幾何学的変分問題 / 曲線の運動 / 反応拡散方程式系 / 脂質二層膜の形態変換 / 活性因子抑制因子系 / パターンの崩壊 / 反応拡散系 / パターン形成 / 界面 / 曲面・曲線の運動 / 非一様な媒体 / 曲面の運動 / 走化性モデル

【研究成果の概要】

生物の形態形成のモデルとして提唱された反応拡散方程式系に対し,パターンの崩壊や解の爆発などの特徴的な動的変化が起きるための条件を明らかにし,また解の最大点の位置や漸近形などの定性的性質を解明した.
さらに,赤血球膜の形態変換モデルである幾何学的変分問題の低次元類推問題として,曲げエネルギーにより駆動される平面閉曲線のエネルギー汎函数に対し,その臨界点をすべて求めるとともに,拘束条件をみたす勾配流の構成など動力学的性質を考察するための理論的枠組みを構築した.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2006 - 2009

【配分額】47,450千円 (直接経費: 36,500千円、間接経費: 10,950千円)

【研究分野】物性一般(含基礎論)

【研究領域課題番号】14340115 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非平衡開放系 / レーザー / リズム / パターン形成 / メソスコピック系 / 自発運動 / 相分離ダイナミクス / 反応拡散系 / 分子機械 / レーザートラップ / 相分離 / 自己組織化 / 化学-機械エネルギー変換 / 非平衡 / 非線形 / 光ピンセット / 分岐現象 / 無容器反応系 / 遺伝子導入 / 光トラップ / ミクロ相分離 / 単一分子操作 / ミクロモータ / 非線形振動 / 光モータ / 微小液滴 / 長鎖DNA

【研究成果の概要】

非平衡開放系の物理を理解することは、宇宙から生物にいたるまで、さまざまなスケールの物理を考える際に重要な課題である。そこで、われわれはマイクロメートル〜ミリメートルのスケールの定常的な非平衡開放条件を集光レーザー場を用いて形成することを目的として研究を進めてきた。すなわち、集光レーザーによって物体をトラップしながら、光子としてのエネルギー注入による非平衡開放条件下で引き起こされる動的な非線形現象についての実験をデザインし、非平衡開放系に関する実験モデル系の確立、理論的基盤の構築を目指した。その結果、次に示すような重要な成果を得ることができた。
・定常的な集光レーザー場中における高分子・脂質チューブの周期的構造変化
・レーザーにより誘起されるマイクロメートルスケールの相分離現象
・レーザーエネルギー注入による液滴の振動・消滅リズム
・レーザー照射位置の制御による液滴の自発的運動の制御
また、レーザーによる非平衡系での現象と対比させて考えるため、化学エネルギーの勾配により駆動される自発運動についても研究を行い、次の成果をあげた。
・界面活性剤水溶液中における油滴のガラス基板上自発的運動
・水-アルコール系におけるアルコール液滴の自発的運動
・BZ反応液滴の自発的運動
これらは光エネルギー・化学エネルギーを注入源とする非平衡開放場であると捉えることにより、非線形微分方程式で記述可能であることを示した。このような定式化により、実験系の制御やデザインができるようになってきている。理論的考察を通じて、非平衡開放条件下、自発的にリズムやパターンの生成する現象についての、新奇なシナリオを構築することに成功した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2002 - 2005

【配分額】14,700千円 (直接経費: 14,700千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】13440050 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

反応拡散方程式系 / パターン形成 / パターンの崩壊 / 解の爆発 / 活性因子,抑制因子 / スポット解の散乱現象 / スパイク解 / 活性因子・抑制因子 / 非常に薄い領域 / 反応拡散系 / 集中現象 / 特異摂動 / 軌道の極限集合 / 半線型楕円型偏微分方程式 / 領域の境界の曲率 / 安定性 / 界面 / 空間的構造

【研究成果の概要】

本研究課題は非線型放物型偏微分方程式の解の挙動の追跡を目指して推進されてきた.
研究代表者はWei-Ming Ni(ミネソタ大学)と鈴木香奈子と共同で,ギーラーとマインハルトによる活性因子-抑制因子型反応拡散系の解の挙動について研究し,次のことを解明した:(i)初期値が定数函数の場合,活性因子がそれ自身を生産する強さが抑制因子の生産を促す強さよりも大きいと,有限時間で爆発する解が存在する.爆発解には,活性因子だけが発散するものと抑制因子も同時に発散するものとがあり,前者は初期値を抑制因子が指定された値に収束するように選ぶことができる.(ii)活性因子の方程式が源泉項を含まない場合,活性因子がそれ自身よりも抑制因子の方を多く生産するならば,どの解も爆発することはない.また,パターンの崩壊,つまり解が原点に収束することが起こり得る.
西浦は,パルス解やスポット解の散乱現象を考察し,分水嶺解と呼ばれる,不安定な定常解または周期解の近傍での局所ダイナミクスと,解軌道の空間的な位置関係により,様々な入出力関係が形成されることを明らかにした.
柳田は,ある準線型放物型方程式に対し,初期値に応じて大域的増大解,進行波解,有限時間消滅解のいずれかに分類されることを示し,その漸近挙動や消滅時刻における解の振る舞いについて調べた.
小薗は,3次元非有界領域において,すべての平方可積分な初期値に対し強エネルギー不等式を満たすナビエ・ストークス方程式の弱解を構成できることを証明した.
反応拡散系の考えを初めて提唱したチューリングの論文が出版されて50年となるのを記念し,パターン形成レクチャーシリーズとして関連分野の講義を実施した.最終年度には研究成果の発表と討論のため国際研究集会「非線型放物型偏微分方程式における空間的構造の自律的形成」を開催した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2001 - 2004

【配分額】14,500千円 (直接経費: 14,500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】12440023 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

反応拡散系 / 興奮-抑制系 / 歪勾配系 / 分岐 / パターン形成 / 固有値問題 / 定常解 / 安定性 / 興奮一抑制 / 自己相似解 / 解の爆発 / 興奮ー抑制系

【研究成果の概要】

反応拡散系に見られる様々な時空間ダイナミクスは,いろいろな自然現象に見られる自発的パターン形成のモデルとなっている.本研究では,解析学的手法と数値的手法を組み合わせて,以下の問題について研究を進めた.
1.shadow systemと呼ばれる縮約系に対して,無限次元力学系の手法を適用して,安定解の空間的単調性を示した.また歪勾配構造をもつ反応拡散系に対し,安定定常解の変分法的特徴付けを得た.
2.ギーラーとマインハルトによって提唱された活性因子・抑制因子型の反応拡散系について,定常解の安定性を調べた.二つの同心球面に囲まれた領域において,抑制因子の拡散係数が無限大になった極限系の定常解のうち,境界上の一点でのみ極大となるものはいずれも適当な条件のもとで安定であることを証明した.
3.反応拡散方程式の定常解は非線形楕円型方程式の解として与えられる.楕円型方程式の正値解の存在は,定常解の構造を理解するに当たってもっとも基本的な問題である.ここでは臨界べきを持つ非線形楕円型方程式の解の存在と分岐について明らかにした.
4.反応拡散系に見られる複雑な時空間パターンのダイナミクスは,パルス状局在解が弱いあるいは強い相互作用をすることによって生じると解釈できるが,そのダイナミクスを漸近的手法を用いて解析する.
5.生物の形態形成における活性化因子--抑制因子モデル方程式、熱対流におけるSwift-Hohenberg方程式などは勾配・歪勾配系の枠組みでとらえ,縞状のパターンには、Eckhaus不安定性とZigzag不安定性の2種類の不安定性が普遍的に観察されることが示された.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2000 - 2002

【配分額】10,100千円 (直接経費: 10,100千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】11555023 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ソリトン / 超離散 / 差分方程式 / セルオートマトン / 交通流 / 箱玉系 / デジタル / パターン形成 / 超離散化 / 交通流モデル / 反応拡散系 / 再帰方程式 / max-plus方程式 / バーガーズ方程式 / 可積分系 / 可積分 / クリスタルベース

【研究成果の概要】

超離散化は,exp型の非解析的極限を差分方程式に適用し,従属変数の離散化を行うという手法である.この手法と微分方程式の差分化手法を組み合わせると,微分方程式から差分方程式,そして超離散化方程式という一連の離散化が可能になる.本研究は,この離散化手法を具体的な方程式にあてはめ,どのような応用が可能かを探る研究である.その具体的な成果は以下の通りである.
まず,バーガーズ方程式の線形化可能構造を壊さずに,差分化そして超離散化することにより,交通流のモデルの基礎となるルール番号184のセルオートマトンを得ることに成功した.そして,このセルオートマトンを拡張することにより現実の交通流の渋滞形成を再現するモデルを得ることに成功した.
次に超離散化手法が基盤としているマックス-プラス代数を応用することにより,反応拡散系などのパターン形成系のメカニズムを再現できるデジタル方程式を提案することに成功した.この方程式から,ターゲットやスパイラルなどのパターンがどのような数学的表現により実現されるかが明確になり,パターン形成理論に対して新しい知見をもたらすことができた.
さらに,再帰系などの2階の非線形差分方程式の超離散化を行い,その解構造を調べた.これら系の解は一般に楕円関数で表現することができる.超離散化を行うと,解はmod関数に似たふるまいをすることが分かった.そこで,なぜそのような解の振る舞いが生じるのかを,力学系理論の観点から調べ,明示的な解構造を得ることに成功した.この成果は力学系理論に対して新しい寄与をなすと考えられる.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1999 - 2002

【配分額】6,900千円 (直接経費: 6,900千円)