【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】23340008 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ホッジ理論 / 周期写像 / モジュライ / コンパクト化 / 混合対数的ホッジ構造 / 混合版基本図式 / ネロンモデル / ミラー対称性 / 対数的混合ホッジ理論 / log geometry / ホッジ構造 / 基本図式 / 特異点 / 加藤曲面 / slope 安定束 / ２次元正規特異点 / 堀川指数 / 双エルミート構造 / ルート系 / 安定性 / 対数的混合ホッジ構造 / 非特殊線形系 / Orbifold 特性類 / ツイスター空間 / 算術的コーエン・マコーレー束 / 対数的ホッジ理論 / 対数的幾何学 / スロープ不等式 / デデキント和 / ログ幾何学 / 一般多様体 / カラビ・ヤウ多様体 / 鏡対称性

【研究成果の概要】

混合版SL(2)-軌道の空間と対数的混合ホッジ構造の良モジュライを構成した。後者の幾何への応用として構成したネロンモデルの複数の切断の共通部分の解析性を証明した。任意に与えられた許容ノーマル関数を受け止めるネロンモデルを構成した。これらの物理への応用として、３次元５次超曲面の閉および開ミラー対称性の記述をした。以上は全て出版された。
混合版として新たに出てくる比構造付羃零i軌道の空間、星付混合版SL(2)-軌道の空間を補って、純重みのときの基本図式を増強し、周期写像やノーマル関数の様々な極限を比較することができる混合版の基本図式を完成させた（投稿中）。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2011-04-01 - 2016-03-31

【配分額】17,940千円 (直接経費: 13,800千円、間接経費: 4,140千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】23224001 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

モジュライ / コンパクト化 / 安定性 / パンルヴェ方程式 / フレア理論 / ミラー対称性 / 超平面配置 / ゼータ関数 / マッカイ対応 / モジュライ理論 / 超幾何級数 / ガンマ関数 / Fleor理論 / アーベル多様体 / ハミルトン構造 / 量子コホモロジー / ガウス分布 / 半アーベル群スキーム / 双対分割定理 / 非可換ゼータ関数 / レベル構造 / 既約表現 / 整モデル / symplectic　多様体 / Witt 環 / 有限群スキーム / Floer理論

【研究成果の概要】

本研究では、幾何学的なモジュライ空間の大域的な構造を研究し、関連する理論への応用を目指した。アーベル多様体のモジュライ空間の第二のコンパクト化を構成し、他の重要なコンパクト化との関係を解明、代数曲線のベクトル束のモジュライ空間のゼータ関数に関するリーマン予想の証明、トーリック多様体のラグランジュ部分多様体のモジュライ空間を研究し、ミラー対称性における量子コホモロジー環とポテンシャルのヤコビ環の同型を証明、代数曲線のベクトル束のモジュライ空間を用いて、パンルヴェ微分方程式を特徴付ける、などの成果があった。また、統計経済学のアローの不可能性定理を超平面配置によって解釈し一般化、発展させた。

【研究種目】基盤研究(S)

【研究期間】2011-04-01 - 2016-03-31

【配分額】181,090千円 (直接経費: 139,300千円、間接経費: 41,790千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】12304001 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

アーベル多様体 / モジュライ / コンパクト化 / McKay対応 / データ関数 / Calabi-Yau多様体 / 余不変代数 / Quiver多様体 / テータ関数 / マッカイ対応 / 余不変式環 / Abel多様体 / Griffiths領域 / Floer homology / 一般化Whittaker模型 / 楕円曲線 / レベルN構造 / Abel 多様体 / Stability

【研究成果の概要】

本研究では,モジュライ空間とそのコンパクト化の研究および,ある特定の代数多様体をある別の幾何学的な対象のモジュラィ空間と同一視してその立場から,その代数多様体を研究することを目標とした。具体的には以下のような問題を考察することを目標とした:(a)商特異点C^3/Gの特異点解消のモジュライ空間としての研究,構造の決定.(b)Kempf安定性によるモジュライのコンパクト化の構成.(c)アーベル多様体のモジュライ空間A_<g,N>のZ[1/N]上の自然なコンパクト化SQ_<g,N>および関連するモジュライ空間の研究.そのおのおのについて相当程度の成果が得られた.
おもなものは二つある.その第一は,Hilbert scheme of G-orbitsの研究であり,単純特異点のMcKay対応とよばれる20年以上も前から知られる現象に新しい説明を与え,さらに3次元に拡張して多くの新しい問題を提起し,多くの新しい成果を得たことである.とりわけ3次元ないし高次元への拡張は,研究代表者のアイデアによって研究の方向が提唱され,多くの関連する研究が続いた.その意味で,McKay対応の研究史における本研究の意義は少なくない.とりわけ,代表者の証明した事実のひとつは,Hilbert scheme of G-orbitsがC^3/Gの極小特異点解消のなかでもっとも自然なものだということである.これは従来の理論にはなかったことであり,代数幾何学における従来の常識を破る性格を持ち,多くの研究者によって驚きをもって迎えられた.もう一つはアーベル多様体のModuli空間A_<g,N>の自然なコンパクト化を構成したことである.このコンパクト化は射影的であり,望ましいコンパクト化の性質を持つ.不変式理論の立場からは,安定性によって簡明にその本質を表現できるという点で,正統な,しかもそのような唯一のコンパクト化である.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2000 - 2003

【配分額】29,930千円 (直接経費: 24,800千円、間接経費: 5,130千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】11874001 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

楕円曲線 / モジュライ / レベルN構造 / Abel多様体 / Stability / コンパクト化 / Abel 多様体 / 安定性 / 閉軌道空間

【研究成果の概要】

Abel多様体のモジュライの新しいコンパクト化が構成できた。これについて論文「A new compactification of the moduli of abelian varieties over Z[ζN,1/N]」を完成し投稿中である。Inv.Math.(1999)の中ではStabilityの立場からコンパクト化(Fine moduli)を構成したので、Abel多様体の極限としては構造層がべき零元を持つこともあった。そこで今回はStabilityを犠牲にして、その代わり構造層がべき零元を持たないものをとった場合にも、モジュライのコンパクト化が可能かどうかを考察した。その結果、Abel多様体の極限としては構造層がべき零元を持たないもののみをとっても、モジュライとしていくぶん悪くなるがやはり、モジュライのコンパクト化が構成できることが証明できた。しかしStabilityを犠牲にしたので、退化Abel多様体のはもはや閉軌道を持つとは限らない。
一方、Hilbert shcemeの射影的な部分多様体Zで、軌道空間X(semi-stable)//Gに有限ファイバー、かつ全射されるもが存在し、さらに軌道空間X(semi-stable)//GはZのファイバーの粗なモジュライとなる場合は一般論により、Zをモジュライとするようなモジュライ函手Mを一般的に構成できる。Stabilityによるモジュライ空間SQ_{g,K}はこのように構成されている。

【研究種目】萌芽的研究

【研究期間】1999 - 2001

【配分額】2,100千円 (直接経費: 2,100千円)