【研究領域課題番号】19K03581 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

反応拡散系 / 分岐 / 楕円型偏微分方程式 / 非線形拡散 / 安定性 / 反応拡散方程式 / 拡散の相互作用 / 非線形楕円型方程式 / アプリオリ評価 / 写像度

【研究成果の概要】

有界領域において共通の資源を取り合う関係にある２種類の競争種にとって，合理的に資源を摂取するには，競争相手の種が多い場所ほど空間的拡散を促進させた方が好戦略に思われる．この戦略を「交差拡散」とよばれる拡散の相互作用を表す非線形項として，従来のロトカ・ボルテラ系に加味したモデルが，重定，川崎，寺本(1979）によって提唱され，現在では「SKTモデル」とよばれている．SKTモデルにおいては，定常問題の解構造の解明が重要な問題として残されており，本研究課題においては，交差拡散係数を増大させたときの，定常解の大域分岐構造の導出を主目標としてきた．
前年度までの研究によって，両種の交差拡散係数を同程度に大きくしたとき，ノイマン境界条件の下では，競争種どうしの空間的棲み分けは不完全排他の形で起こることが分かった，すなわち，片方の種の生存地域において，競争相手である他種のが，比較的少ないながらも生存している状況が定常解で再現された．さらに，非定数な定常解の集合は，定数解からのピッチフォーク分岐枝で構成されていることが分かった．
当該年度においては，ディレクレ境界条件の下で，両種の交差拡散係数を同程度の大きくすると，定常解の大域分岐枝は「競争種どうしの完全排他的な棲み分けを特徴づける部分」と「両種がともに領域の中心付近に小さいピークをとる小丘共存を特徴づける部分」が繋がる形で出現することが分かった．非線形楕円型方程式の解構造の観点では，小丘共存の部分は零解からの１次分岐枝で構成されていて，その枝から対称性を壊す２次分岐もしくは不完全分岐が起こり，完全排他の部分が２次分岐枝で構成されることを明らかにした．
また，attractive transition 型の非線形拡散項を伴うロトカ・ボルテラ共生系の定常解の研究に従事し，非定数定常解が出現するメカニズムを分岐理論の立場で明らかにしている．

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2019-04-01 - 2023-03-31

【配分額】4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)

【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】15K04948 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

反応拡散系 / 拡散の相互作用 / 分岐 / 極限系 / 競争モデル / 反応拡散方程式 / 非線形楕円型方程式 / 安定性 / 非線形拡散 / 楕円型偏微分方程式 / 交差拡散 / 移流 / 数理生物学モデル / 定常パターン

【研究成果の概要】

本研究課題においては、競争関係にある２種類の生物種の個体群密度の時空的変化を記述する反応拡散系に関する研究を行った。具体的には、交差拡散項とよばれる非線形拡散項を伴うロトカ・ボルテラ系（重定・川崎・寺本モデル,1979）に対して、交差拡散項の係数を無限大まで大きくしたときの定常解の漸近挙動を調べた。従来の研究が後れていた「第２極限系」とよばれる近似問題に対して、解の大域分岐構造を明確化した。この研究成果によって、重定・川崎・寺本モデルの定常解集合がサドルノード分岐曲線とよばれる釣り針状の曲線をなすことが明らかになった。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2015-04-01 - 2019-03-31

【配分額】4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)

【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】26400173 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

differential equation / bifurcation method / singular perturbation / 微分方程式 / 分岐理論 / 反応拡散方程式 / 特異摂動論 / bifurcation / reaction diffusion / statiionary solution / stability / stationary solution

【研究成果の概要】

反応拡散方程式の研究はパターン形成の解明に重要である。本研究はある種の生物の個体群密度を記述するLotka-Volterra競合系モデルについて、Newmann境界条件のもと方程式の係数をパラメータとした、非定数定常解の大域的解構造を決定することである。非定数定常解の存在のための十分条件をLeray-ScauderのDegree理論を用いて示した。また大域的解構造は数値計算から複雑であると予想され、ある種の縮約系を導入することで、方程式は積分条件付きのスカラー方程式となる。この方程式の解構造は定数解からの分岐理論で十分調べられており、積分条件を等高線解析により解析して大域的解構造を示した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2014-04-01 - 2018-03-31

【配分額】3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】18740093 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形現象 / 反応拡散方程式 / 定常解 / 分岐 / 数理生物学モデル / 相互拡散(cross-diffusion) / ロトカ・ボルテラ系 / 楕円型偏微分方程式 / 共存定常解 / 分数型非線形拡散 / 空間非一様性 / 安定性 / 重定-川崎-寺本モデル

【研究成果の概要】

相互拡散(cross-diffusion)を伴うロトカ・ボルテラ系に対して定常解の大域分岐構造が得られた。捕食生物と餌となる生物の個体数密度がなす時空的ダイナミクスを記述する系においては、それぞれの生物の空間的拡散や捕食に関する相互作用の地域差に応じて、生物が共存する定常解がなす分岐枝が釣り針状に変形し、解が複数個存在することが判明した。また、分数型の相互拡散を伴う系においては、相互拡散項の増大に応じて、共存定常解が2種類のサイズに分類されることが分かった。

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】3,670千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 270千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】18540223 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形現象 / 反応拡散方程式 / 非線形拡散 / 正値定常解 / 安定性 / 写像度理論 / 分岐理論 / Lotka-Volterra型競合モデル / 分理論 / 数理生態学

【研究成果の概要】

数理生態学に現れる非線形拡散を伴う反応拡散方程式システムを解析した。これは生存競争を行う2種の生物種の棲み分け現象を記述するモデルとして定式化されたものである。正値定常解は2種の生物種の共存状態として生態学的にも意味のある解であり、このような解の構造解明が重要なテーマである。正値定常の存在を示すための理論・技法の開発をおこなった。同時に、非線形拡散係数を無限大とする場合の極限問題と、本来の問題との関係を調べることにより、解構造解明への手がかりをつかむことができた。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】3,960千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 660千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】13440050 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

反応拡散方程式系 / パターン形成 / パターンの崩壊 / 解の爆発 / 活性因子,抑制因子 / スポット解の散乱現象 / スパイク解 / 活性因子・抑制因子 / 非常に薄い領域 / 反応拡散系 / 集中現象 / 特異摂動 / 軌道の極限集合 / 半線型楕円型偏微分方程式 / 領域の境界の曲率 / 安定性 / 界面 / 空間的構造

【研究成果の概要】

本研究課題は非線型放物型偏微分方程式の解の挙動の追跡を目指して推進されてきた.
研究代表者はWei-Ming Ni(ミネソタ大学)と鈴木香奈子と共同で,ギーラーとマインハルトによる活性因子-抑制因子型反応拡散系の解の挙動について研究し,次のことを解明した:(i)初期値が定数函数の場合,活性因子がそれ自身を生産する強さが抑制因子の生産を促す強さよりも大きいと,有限時間で爆発する解が存在する.爆発解には,活性因子だけが発散するものと抑制因子も同時に発散するものとがあり,前者は初期値を抑制因子が指定された値に収束するように選ぶことができる.(ii)活性因子の方程式が源泉項を含まない場合,活性因子がそれ自身よりも抑制因子の方を多く生産するならば,どの解も爆発することはない.また,パターンの崩壊,つまり解が原点に収束することが起こり得る.
西浦は,パルス解やスポット解の散乱現象を考察し,分水嶺解と呼ばれる,不安定な定常解または周期解の近傍での局所ダイナミクスと,解軌道の空間的な位置関係により,様々な入出力関係が形成されることを明らかにした.
柳田は,ある準線型放物型方程式に対し,初期値に応じて大域的増大解,進行波解,有限時間消滅解のいずれかに分類されることを示し,その漸近挙動や消滅時刻における解の振る舞いについて調べた.
小薗は,3次元非有界領域において,すべての平方可積分な初期値に対し強エネルギー不等式を満たすナビエ・ストークス方程式の弱解を構成できることを証明した.
反応拡散系の考えを初めて提唱したチューリングの論文が出版されて50年となるのを記念し,パターン形成レクチャーシリーズとして関連分野の講義を実施した.最終年度には研究成果の発表と討論のため国際研究集会「非線型放物型偏微分方程式における空間的構造の自律的形成」を開催した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2001 - 2004

【配分額】14,500千円 (直接経費: 14,500千円)

【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】09440027 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

アインシュタイン / 調和写像 / カルノー群 / グラフのラプラス作用素 / トーリック多様体 / 反応拡散方程式系 / 複素クライン群 / 二木指標 / 安定性 / グリーン関数 / カルノ-群

【研究成果の概要】

・板東は、ケーラー多様体や複素正則ベクトル束のアインシュタイン計量の存在問題を研究した。アインシュタイン計量の存在と多様体の安定性は密接な関係があると思われるが、それに関わる汎関数の有用な表示を得た。また、調和な幾何学的対象の存在をグリーン関数を用いて研究する論文を纏めた。
・西川は、上野慶介氏(山形大学)と共同で、負曲率等質多様体間の調和写像の無限遠境界値問題と、複素双曲型空間形の間の調和写像の複素解析性に関して研究を行った。境界までC^4級にのびる固有な調和写像で、理想境界上で非退化なCR写像であるものは、正則写像に他ならないことを示した。
・浦川は、調和写像、ヤングミルズ接続などの研究を引続き行なう一方、それらの手法を離散化してグラフ上で行ない、有限、または無限グラフのラプラス作用素のスペクトル、グリーン核などの評価、調和写像の離散的なアナロジーなどの研究を行なった。
・石田は、トーリック多様体と密接な関係のある(有理)扇の拡張である実扇を研究した。実扇上の次数付き外積加群のカテゴリーを導入し、そこでの双対化関手を定義し、セールの双対性定理やポアンカレの双対性定理に相当する定理を示した。
・高木は、生物の形態形成の基礎モデルとしてA.GiererとH.Meinhardtによって提唱された反応拡散方程式系に関する研究と、赤血球の形態変換のモデルとなる曲げエネルギー汎函数に対する制約極値問題に関する研究を行った。
・井関は、実双曲空間に作用するクライン群のエントロピー剛性および凸ココンパクト性に関する研究を行った。凸ココンパクトなクライン群の極限集合のハウスドルフ次元と、群のコホモロジー次元の間の不等式に関する予想を部分的に解決した。
・中川は、板東・Calabi・二木指標について研究し、Fano多様体の場合にわかっていたいくつかの性質を、一般の射影的代数多様体のKahler類にまで拡張した。ある仮定の下で、板東・Calabi・二木指標の羃単部分群のLie環の上の消滅や、板東・Calabi・二木指標の群の指標へと持ち上げの存在を示した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1997 - 1999

【配分額】13,700千円 (直接経費: 13,700千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】09640228 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

反応拡散方程式 / Lotka-Volterra型 / 正値定常解 / 分岐 / 安定性 / p-ラプラシアン / Lotka-volterra型 / 比較定理 / Lotka-Volterraモデル / 強最大値原理 / 定常解

【研究成果の概要】

本研究の主たる成果は反応拡散方程式の解集合の構造と個々の解の形状に関わる以下の2つのテーマに分類される。
(1)cross-diffusion項を含む反応拡散方程式系の解析:ここではLotka-Volterra型の競合関係をモデルとする反応項とcross-diffusion項と呼ばれる拡散項からなる方程式系を扱った。数理生態学分野に現われる方程式であり、数学的に重要な課題は時間大域解が存在するための十分条件を確立すること、および共存解として大きな意味がある正値定常解集合の構造を知ることである。非定常問題に関しては空間次元が1および2の場合に、大域解の存在条件を得ることができた。また、定常問題については同次Dirichlet境界条件下で正値定常解が存在するための十分条件を調べるとともに、その一意性・非一意性を理論的および数値解析的に調べた。その結果、相互作用の係数が一定の条件をみたせば正値解が2個以上存在し得ることが理論的に明らかになった。さらに数値解析によれば、空間次元が1の場合でも半自明解から対称な正値解の分岐、さらに対称分岐解から非対称な共存解の分岐というように、解集合は非常に複雑になることが示された。これは理論的には未解明であり、今後解明していかなければならない。
(2)pラプラシアン項と反応項からなる準線形放物型方程式の解析:pラプラシアン項はその非線形性と退化性があいまって解析に困難を伴う一方、線形拡散とは大きく異なる非線形現象がもたらされる。この研究では定常問題の解集合の構造について、空間次元1の場合のみならず、高次元の場合もかなり詳しく情報が得られるとともに、解の形状についてもフラットハットと呼ばれる退化型拡散特有の性質・形状が調べられた。また、非定常問題に関して解の時間空間的変化についても従来知られていなかった結果を示すことができた。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1997 - 1999

【配分額】3,500千円 (直接経費: 3,500千円)