【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】26400173 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

differential equation / bifurcation method / singular perturbation / 微分方程式 / 分岐理論 / 反応拡散方程式 / 特異摂動論 / bifurcation / reaction diffusion / statiionary solution / stability / stationary solution

【研究成果の概要】

反応拡散方程式の研究はパターン形成の解明に重要である。本研究はある種の生物の個体群密度を記述するLotka-Volterra競合系モデルについて、Newmann境界条件のもと方程式の係数をパラメータとした、非定数定常解の大域的解構造を決定することである。非定数定常解の存在のための十分条件をLeray-ScauderのDegree理論を用いて示した。また大域的解構造は数値計算から複雑であると予想され、ある種の縮約系を導入することで、方程式は積分条件付きのスカラー方程式となる。この方程式の解構造は定数解からの分岐理論で十分調べられており、積分条件を等高線解析により解析して大域的解構造を示した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2014-04-01 - 2018-03-31

【配分額】3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)

【研究分野】物性Ⅱ

【研究領域課題番号】24540361 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

超流動 / 量子渦 / 臨界速度 / 密度揺らぎ / エネルギーランドスケープ / ボース・アインシュタイン凝縮 / 分岐理論 / スワローテール / 擬弧長法 / ソリトン / 動的密度ゆらぎ / 位相欠陥 / ジョセフソン効果 / 安定性 / グロスピタエフスキー方程式 / ボゴリューボフ方程式 / 密度ゆらぎ / サドルノード分岐

【研究成果の概要】

粘性がなく、熱の発生がないマクロな流れのことを超流動と呼ぶ。超流動状態は遅い流れでは安定であり、ある限界速度（臨界速度と呼ぶ）を超えると、渦の生成を伴い崩壊することが知られている。安定あるいは準安定であった超流動状態が崩壊する様子は、安定な状態と不安定な状態がどのようにつながっているかを示す「地図」を得ることで見通しよく理解できる。地図における標高は今の場合各状態のエネルギーに対応し、その地図のことをエネルギーランドスケープと呼ぶ。超流動崩壊に関連したランドスケープがこれまでに知られていたものとは違うことを示したのが本研究の成果である。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2012-04-01 - 2015-03-31

【配分額】4,940千円 (直接経費: 3,800千円、間接経費: 1,140千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】18540223 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形現象 / 反応拡散方程式 / 非線形拡散 / 正値定常解 / 安定性 / 写像度理論 / 分岐理論 / Lotka-Volterra型競合モデル / 分理論 / 数理生態学

【研究成果の概要】

数理生態学に現れる非線形拡散を伴う反応拡散方程式システムを解析した。これは生存競争を行う2種の生物種の棲み分け現象を記述するモデルとして定式化されたものである。正値定常解は2種の生物種の共存状態として生態学的にも意味のある解であり、このような解の構造解明が重要なテーマである。正値定常の存在を示すための理論・技法の開発をおこなった。同時に、非線形拡散係数を無限大とする場合の極限問題と、本来の問題との関係を調べることにより、解構造解明への手がかりをつかむことができた。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】3,960千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 660千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】17540188 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

幾何学的発展方程式 / ウィルモア汎関数 / ヘルフリッヒ変分問題 / 中心多様体 / 分岐理論 / 分岐方程式 / 勾配流 / 条件付勾配流 / 超曲面の発展方程式 / 安定性 / 正則性

【研究成果の概要】

本研究では、幾何学的発展方程式として、曲面や曲線の族に定義される汎関数に対する制約条件付勾配流を考察した。勾配流は、汎関数の最急傾斜の方向に汎関数値を減らすように対象を変形させるもので、汎関数の臨界点を求める一つの方法である。自然界に現れる曲線や曲面の形状は、何らかの意味で安定なものである。安定度を測るものが汎関数である。従って、勾配流の収束先は、エネルギー的に安定なものであると考えられる。
長澤と高坂は、汎関数として曲面に対するウィルモア汎関数に、曲面の面積と曲面が囲む領域の堆積を指定した制限付極値問題(ヘルフリッヒ変分問題)に対する勾配流をラグランジュの未定乗数は未知の定数として、構成した。球面の近傍の中心多様鯛について解析した。定常解については、球面からの分岐解についてモード2,4,6,8のものを求めた。分岐方程式を群同変性を用いて変形するが、群同変性分岐理論におけるequivariant branching lemmaは用いていない。従って、同lemmaでは得られない解の存在も示す事が出来た。また長澤は、曲面に対するヘルフリッヒ変分問題の勾配流も考察した。こちらは、特異極限によって制約条件を満たすような近似方程式を考え、近似パラメータに関する一様有界性を示し、更に、その特異極限の存在を証明した。
勾配流方程式は、偏微分方程式の分類でいえば、放物型になる事が多い。小池は、非線形放物型偏微分方程式やその定常問題に相当する非線形楕円型偏微分方程式に対する最大値原理や比較定理について研究し、論文として公表した。太田は、双曲型偏微分方程式で記述される発展方程式の解の安定性について研究し、論文として公表した。阪本は、CR構造を持つ多様体(CR多様体)の研究を行い、CR幾何に適したEinstein性を定義し、その性質を調べた。高坂は、境界条件を伴う表面拡散方程式の定常解の非線型安定性を調べ、論文に著した。掲載は決定済みである。幾何学の変分問題の解は、非線形方程式の弱解であるが、その正則性の有無を調べる事は重要である。立川は、不連続性を持つ積分汎関数に対する最小点の正則性について研究した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2005 - 2007

【配分額】3,760千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 360千円)

【研究分野】理論経済学

【研究領域課題番号】15330037 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

カオス / 非線形動学 / ボトルネック・モノポリー / KGMモデル / 非線形寡占ゲーム / カオス・コントロール / 分岐理論 / 空間経済学 / 寡占ゲーム / インフレ・ターゲット / Chaos / Nonlinear Dynamics / Competition Game / Spillover / Stability / Oligopoly Game / Bounded Rationality / Bifurcation / Nonlienar Dynamics / Density Function / Macro Dynamics / Hopf Bifurcation / コモンプール財 / 空間的自由参入競争 / 寡占小売市場

【研究成果の概要】

本研究は伝統的な寡占・複占動学モデルを2つの方向に拡張した。一つは動学研究にパラダイムシフトをもたらしたといわれるカオス・ソリトン・フラクタルなどに象徴される非線形動学理論を導入し、経済において顕著に見られるさまざまな非線形要因が動学に及ぼす影響を分析したこと。もう一つは地域間貿易に顕著に見られるような動学モデルに空間あるいは距離といった概念を明示的に取り入れたときの効果を考察した。
主な研究成果の概要は以下のようなものである。
1 定常解が不安定なときに収束も発散もしない解軌道が吸収されるアトラクター集合の解明
2 非線形性が強いときには、複数の定常解の共存の可能性がでてくる。そこで初期点と定常点、周期解を結びつけるベイズンの構造とモデルのパラメータ値との間の定性的な関連性を明らかにした。
3 安定な定常解への解軌道の解析解構築し、モデルの動学構造をより一般的に解明した。
4 空間的な要素を明示的に組み込むことによる近隣地域からの影響と遠隔地からの効果が時間差をもってどのような影響をおよぼし、複雑な動学を発生させる可能性を検証できた。
5 空間動学モデルは時間遅れがある動学モデルと類似の構造をもっているので、安定化政策のラグが安定性におよぼす効果と空間が及ぼす効果との比較検討をおこなった。
6 空間競争を通じた市場地域の形状変化は従来の比較静学分析では6角形において均衡するとされているが、動学的な観点を付加した考察により様々な形状を呈することを示せた。
これらの直接成果の副産物としてマクロ動学モデルへの応用により幾つかの新しい知見が得られた。
*貨幣の動学的経済モデルに分析により流動性を罠を伴う不況経路・恐慌経路が新古典派完全健康経路に比してパレート劣位であることが論証可能になった。
*地域間の財の取引と地域間資本移動によって結びつけられた固定相場制の2地域マクロ動学モデルを構築し、ホッフ分岐定理の援用により景気循環を非線形動学理論にもとずいて理論的に分析した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2003 - 2005

【配分額】15,000千円 (直接経費: 15,000千円)