【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】17H01093 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 複雑系 / 数理物理 / 解析学 / ポテンシャル論 / 統計力学

【研究成果の概要】

１。熊谷とCroydonは、Barlow氏と共同で二次元一様全域木の上のランダムウォークの熱核評価に現れる振動等の詳細な性質を調べ、さらに熱核のannealedの評価における非対角部分の指数がquenchedのそれと異なることを解明した。熊谷はまた、拡散項とジャンプ項からなる一般の対称確率過程について、対応する熱方程式の解が放物型ハルナック不等式や精密な熱核評価を持つための必要十分条件を導き出した。本研究は、対称拡散過程や飛躍型確率過程の場合に進められてきた安定性理論の統一版であると言える。この結果は、Z.Q. Chen氏とJ. Wang氏との共著論文にまとめ、2020年度に雑誌に掲載された。
２。木上は、自己相似集合の Ahlfors regular conformal dimensionと対応する無限グラフの parabolic index の関係および自己相似集合上への p-energy の構成について研究し、parabolic index とAhlfors regular conformal dimensionの間の不等式などを示した。
３。相川は、intrinsic ultracontractivity の研究を応用して、Lipschitz領域やJohn領域をベースにするシリンダー上の熱方程式の優解の可積分性を与えた。これは正値優調和関数の可積分性に関する結果の放物型拡張である。
４。福島はS. Junk氏と共同で，ランダム媒質中の向きづけられた高分子模型の零温度極限の研究を行い、自由エネルギーの連続性を示した。舟木は、Glauber-零レンジ過程から平均曲率運動の導出を行った。これは非線形な拡散項を経由するため偏微分方程式の観点からも新しい結果である。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2017-04-01 - 2022-03-31

【配分額】43,810千円 (直接経費: 33,700千円、間接経費: 10,110千円)

【研究分野】数理物理・物性基礎

【研究領域課題番号】16K05469 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

量子多体系 / 量子異常 / 量子臨界状態 / 電気分極 / 有限サイズスケーリング / 量子相 / 量子臨界現象 / Lieb-Schultz-Mattis定理 / 量子ホール効果 / 量子スピン鎖 / SU(N)対称性 / 物性基礎論 / 場の理論 / 統計力学 / 反強磁性体 / 数理物理 / 物性理論

【研究成果の概要】

基底状態から無限小のエネルギーで状態を変化させられるギャップレスな状態は、量子相転移点のみでならず、安定な量子臨界相として出現することがある。本研究では、ギャップレスな量子臨界状態を特徴づける性質として、２つの新しい概念を導入した。１つは低エネルギー極限を記述する場の理論が持つ、スピンの「回転」とスピンの位置の並行移動に関する対称性を共にゲージ化（局所化）する際の障害を表す量子異常である。もう１つは、電気分極のゆらぎの強さを表す分極振幅が、系のサイズとともにどのようにスケールするかを表す新たな指数である。

【研究の社会的意義】

ギャップレスな量子臨界状態の理論的・数値的解析はギャップのある相に比較して難しく、未開拓の部分がかなり大きい。本研究で、場の理論において重要な概念である量子異常、また物理的に自然かつ重要な概念である電気分極に基づいて、ギャップレスな量子臨界状態の新たな視点からの分類を行ったことは、ギャップレスな量子臨界状態の包括的な理解に向けた一歩である。実際、本研究を受けて、ギャップレスな量子臨界状態の分類の理論がさまざまな観点から盛んになっており、このような世界的な研究の潮流を作り出す一つの契機を与えた先導的な研究成果であると考えている。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2016-04-01 - 2019-03-31

【配分額】4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)

【研究分野】数理物理・物性基礎

【研究領域課題番号】16H02211 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

孤立量子多体系 / 熱力学第二法則 / リソース理論 / 量子情報 / 情報スクランブリング / 情報熱力学 / 数理物理 / 統計物理 / 量子エレクトロニクス / 量子計算 / 量子カオス / 熱機関 / 統計力学 / 量子コンピュータ

【研究成果の概要】

本研究で我々は、量子多体系の非平衡ダイナミクスの研究、とくに熱力学第二法則が量子力学から如何にして創発するかについての理論研究を行った。その結果として、第二法則やその一般化であるゆらぎの定理を量子力学に基づいて理論的に示し、それを数値実験によって検証することに成功した。また、その背景となる固有状態熱化仮説や、その例外である量子多体スカーについての研究も行った。さらに情報スクランブリングや熱力学リソース理論など、量子情報理論を含めた様々な観点から、量子多体系の第二法則の理論研究を行い、成果を得た。

【研究の社会的意義】

ミクロで可逆な世界の基本法則である量子力学から、マクロで不可逆な世界の基本法則である熱力学第二法則が如何にして創発するかは、物理の基本原理の観点からのみならず、冷却原子気体など孤立量子多体系の制御技術の観点からも重要である。我々は、第二法則が量子力学から創発する機構を理論的に解明したのみならず、量子情報理論など隣接分野のアイデアを取り入れた様々な研究を行った。そうして得られた成果は、量子多体系の非平衡ダイナミクスの理解に大きく貢献し、さらには量子多体系の物理と量子情報理論の境界領域を開拓するのに資するものである。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2016-04-01 - 2021-03-31

【配分額】45,110千円 (直接経費: 34,700千円、間接経費: 10,410千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】26610019 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 解析学 / 統計力学 / 数理物理 / 関数方程式論

【研究成果の概要】

Kardar-Parisi-Zhang(KPZ)方程式とは、揺動を伴う界面の成長を記述する非線形確率偏微分方程式である。数学的には発散項を含み不良設定になるが、これを除去する繰り込みの手法がフィールズ賞受賞者Hairerにより提唱され意味付けが可能となった。本研究では、KPZ方程式および多成分がカップルしたKPZ方程式の定常測度を特定し、方程式の時間大域的可解性を示した。さらに、関連する相互作用無限粒子系の行列式構造を新たに見出すなどの研究を行った。

【研究種目】挑戦的萌芽研究

【研究期間】2014-04-01 - 2017-03-31

【配分額】3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】26287014 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 解析学 / 統計力学 / 数理物理 / 関数方程式 / 応用数学 / 関数方程式論

【研究成果の概要】

多成分がカップルした KPZ(Kardar-Parisi-Zhang)方程式について、擬被制御解析に基づき定常測度の解析を行い、大域的適切性を示した。さらに、この特異な確率偏微分方程式が複数の保存量を持つ粒子系からスケール極限の下で導かれることを示した。また、確率的揺動項を持つ質量保存Allen-Cahn方程式の鋭敏界面極限、粒子系からの平均曲率運動の導出、方向依存性を持つノイズが加わった平均曲率運動、確率的保存則すなわち1階の非線形確率偏微分方程式、数理遺伝学で用いられる適応力学の数学的正当化、ランダム行列に関連する確率力学、ランダム媒質中のMarkov連鎖の研究等を行った。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2014-04-01 - 2019-03-31

【配分額】15,730千円 (直接経費: 12,100千円、間接経費: 3,630千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】25247007 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 数理物理 / 解析学 / 複雑系 / 統計力学 / 熱方程式 / 国際研究者交流 / イギリス：カナダ：アメリカ：フランス：中国 / イギリス：カナダ：アメリカ：フランス / イギリス：カナダ：ドイツ：韓国：アメリカ

【研究成果の概要】

ランダムな媒質中のダイナミックスとそのスケール極限について、体系的に解析を行った。大きな成果としては次が挙げられる。i) 境界のあるランダムなコンダクタンス上のマルコフ連鎖について、媒質について確率１での収束定理を広い範疇で証明した。ii) ２次元一様全域木と呼ばれる、スケール極限が共形不変なモデルについて、その上のランダムウォークの部分列の収束性を示し、極限過程の熱核評価を行った。iii) 測度距離空間における飛躍型確率過程に関する熱核評価の安定性を証明した。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2013-04-01 - 2017-03-31

【配分額】38,870千円 (直接経費: 29,900千円、間接経費: 8,970千円)

【研究分野】数理物理・物性基礎

【研究領域課題番号】23840024 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ゆらぎの定理 / 非平衡定常系 / フィードバック制御 / 非平衡統計力学 / 熱力学第二法則 / マクスウェルのデーモン / 相互情報量 / 統計力学 / 数理物理 / 情報システム

【研究成果の概要】

測定やフィードバックを含む情報処理過程に適用できる形に,非平衡関係式や熱力学第二法則を一般化する統一的な枠組みを構築することに成功した.それを用いて,情報処理を行う分子機械のモデルの非平衡定常状態におけるエントロピーと情報の生成を求め,両者の関係を明らかにした.

【研究種目】研究活動スタート支援

【研究期間】2011 - 2012

【配分額】3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】22340017 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 数理物理 / 解析学 / 複雑系 / 統計力学 / 飛躍型確率過程 / 国際研究者交流 / イギリス：アメリカ：カナダ：ドイツ / イギリス：アメリカ：カナダ / 英：米：ドイツ / イギリス:アメリカ:カナダ

【研究成果の概要】

確率論的手法と実解析的手法を融合的に用いることで、複雑な系の上のマルコフ連鎖とその極限過程を統一的に解析する研究を行った。一般論を展開する観点からは、cycle条件を満たす非対称なマルコフ連鎖の熱核の評価とそのスケール極限の解析、測度付き距離空間上の対称拡散過程に関する熱核の劣ガウス型評価と一般化放物型ハルナック不等式の同値性の証明、飛躍型確率過程の収束理論の構築などの成果を得た。具体例の観点からは、樹木上の臨界確率パーコレーションにバイアス付きランダムウォークを走らせた際の漸近挙動、極限過程の考察を行い、またランダムな有限グラフ上のマルコフ連鎖の混合時間のスケール極限に関する成果を得た。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2010-04-01 - 2013-03-31

【配分額】16,770千円 (直接経費: 12,900千円、間接経費: 3,870千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】22244007 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 解析学 / 統計力学 / 数理物理 / 関数方程式論 / 応用数学 / 関数方程式

【研究成果の概要】

揺動界面の成長を記述する KPZ 方程式の不変測度の解析を行った。この確率偏微分方程式は発散項を含み、数学的扱いには困難を伴う。動的2次元ヤング図形の非平衡揺動問題を論じ、スケール極限の下で確率偏微分方程式を導いた。自己組織的に集成する生物系に対し流体力学極限の手法を適用し巨視的描像へのリンクを与えた。動的ランダム行列理論において現れるAiry点過程、Ginibre点過程について、無限次元確率微分方程式の一意的強解の存在や堅牢性を示した。その他、パーコレーション、非線形拡散方程式、安定型雑音を伴う確率偏微分方程式等の研究を行った。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2010-04-01 - 2015-03-31

【配分額】41,730千円 (直接経費: 32,100千円、間接経費: 9,630千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】21654015 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 数理物理 / 解析学 / 統計力学 / ランダムウォーク / 飛躍型確率過程 / 国際研究者交流 / イギリス:アメリカ:韓国

【研究成果の概要】

本年度行った研究により得られた成果は、以下の通りである。
1. 熊谷は、Croydon氏(Warwick大)、Hambly氏(Oxford大)と共同で、与えられた有限グラフの列に対して、その上の対称マルコフ連鎖の混合時間が収束するための十分条件を与えた。この十分条件は、グラフのグロモフ-ハウスドルフ収束に、熱核の収束の概念を加えた新たな収束概念によって表現することができる。これにより、例えばErdos-Renyiのランダムグラフの臨界確率近傍での最大連結成分上のランダムウォークの混合時間に関する収束定理を証明することができる。この結果は3人の共著論文にまとめ、現在雑誌に投稿中である。
2. 熊谷は、昨年度から継続しているChen氏(Washington大)、Kim氏(Seoul大)との共同研究を論文にまとめ、雑誌に投稿した。その内容は、D次元正方格子上の対称マルコフ連鎖が飛躍型確率過程に収束するための十分条件を、ディリクレ形式の手法を用いて導出するものである。特に、ランダムコンダクタンスモデルへの応用として、2点間のコンダクタンスに長距離相関がある場合に、対応するランダムなマルコフ連鎖がD次元安定過程に収束するための十分条件を与える部分について、昨年度やや曖昧であった条件を明確にした。現在、査読結果を元に改訂版を作成中である。
3. 長田は白井朋之氏(九州大)と共に、Ginibre random point fieldのPalm測度が、もとの測度に対して特異になること、および(任意の相異なる)2点で条件づけたPalm測度は互いに絶対連続になることを示した。

【研究種目】挑戦的萌芽研究

【研究期間】2009 - 2010

【配分額】3,100千円 (直接経費: 3,100千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】18654018 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 数理物理 / 熱核評価 / 統計力学 / ランダムウォーク / パーコレーション / 国際研究者交流 / カナダ:アメリカ:イギリス / ランダムウオーク

【研究成果の概要】

本年度行った研究により得られた成果は以下の通りである。二年間という短期間で多くのモデルの解析を行い、当該研究を大きく推進できたと考える。
1.Diamond latticeと呼ばれるグラフ上の臨界確率におけるパーコレーションクラスターを考え、そのスケール極限が連結なクラスターを持つという条件のもとで、クラスター上の拡散過程を構成し、その熱核に関する詳しい評価を得た。特に、スペクトル次元に関する有名なAlexander-Orbach予想はこのモデルでは成り立たないことを証明した。(なお、このモデルでは臨界確率において連結なクラスターが存在する確率が正になる。)このモデルは2次元モデルの簡易化としていくつもの文献に取り扱われているが、臨界確率におけるダイナミックスの解析は本研究が初めてであると考える。現在この結果を、Oxford大学のHambly氏との共著論文として執筆中である。
2.臨界確率における分枝過程の家系図に対応する樹木を考え、そのincipient infinite cluster上のランダムウオークの熱核を研究した。昨年までのこの研究を発展させ、本年は子孫分布が有限な二次モーメントを持たない場合にこの問題を取り扱い、二次モーメントを持つ場合との間で熱核挙動に顕著な違いがあることを解明した。具体的には、体積増大度が大きく異なるため、熱核の対角評価のオーダーが二次モーメントを持つ場合と異なり、特に上述したAlexander-Orbach予想が成り立たないことが示された。(なお、二次モーメントを持つ場合はこの予想が正しいことを昨年我々が証明している。)

【研究種目】萌芽研究

【研究期間】2006 - 2007

【配分額】3,200千円 (直接経費: 3,200千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】18204007 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 解析学 / 統計力学 / 応用数学 / 数理物理 / 関数方程式論

【研究成果の概要】

界面模型とランダム行列理論に関連する大規模相互作用系に対し、確率解析および非線形偏微分方程式論に基づく研究を行った。特に、壁あるいはピンニングを持つ界面模型について、大偏差原理の速度汎関数が複数の最小解を持つ場合の詳細な解析とスケール極限の決定を行い、さらに2次元ヤング図形の動的模型に対し流体力学極限を証明した。また、ランダム行列理論における動的モデルとしてGinibre干渉ブラウン粒子系を考察し、着目粒子の劣拡散的挙動という際立った性質を発見した。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2006 - 2009

【配分額】24,180千円 (直接経費: 18,600千円、間接経費: 5,580千円)

【研究分野】物性Ⅱ

【研究領域課題番号】18540341 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

磁気共鳴 / 磁性 / スピンギャップ / 電子スピン共鳴 / 強相関電子系 / 物性理論 / 統計力学 / 場の理論 / 数理物理 / 計算物理 / 量子スピン系 / 量子ダイナミクス / 磁場誘起臨界現象 / スピンギャップ系 / Haldaneギャップ / 量子臨界点 / 擬1次元スピン系 / 可積分系 / フォームファクター

【研究成果の概要】

これまで1次元スピンギャップ系のESRについて多くの実験が行われてきたが、理論な理解は進んでいなかった。そこで、1次元スピンギャップ系のESRに対する新たな理論的アプローチを定式化した。まず、磁場中の1次元スピンギャップ系において、朝永・ラッティンジャー流体領域と量子臨界領域の間のクロスオーバーが、温度の関数としての磁化の極小として普遍的に現われることを発見した。また、このような系のESRシフトについて、広い温度・磁場領域で定量的な理論を得た。その結果はS=1ハルデンギャップ系であるNDMAPについての実験データと非常に良い一致を見た。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】3,910千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 510千円)

【研究分野】数理物理・物性基礎

【研究領域課題番号】17540365 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

統計力学 / 数理物理 / 物性基礎論 / メゾスコピック系 / 非平衡現象 / C*代数 / 特異連続スペクトル / Mittag-Leffler緩和 / 揺らぎ定理 / 非平衡相転移 / Peierls転移 / 量子複合系 / スレイブ・ボソン法 / 間欠性カオス / 異常拡散 / 量子ゼノン制御 / C^*代数

【研究成果の概要】

通常、巨視的現象を扱う統計力学では、物体を構成する原子・分子数が膨大なことが仮定される。他方、ナノ科学の進歩により、さほど多くない原子・分子から成る微小物体に起る現象が調べられている。この現象を扱える理論の構築を目的に、C*代数・力学系理論という数学理論に立脚する新しい方法に基づき、大きな物体と接触する微小物体の振舞を調べ、任意の初期状態から一定の電流・熱流を伴う状態への緩和を扱えること、複数の実験事実を説明できることなどを示し、新しい方法の有用性を明らかにした。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2005 - 2008

【配分額】3,880千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 480千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】14604008 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理物理 / 関数解析 / 作用素環 / 統計力学 / 場の量子論 / 無限自由度 / 非平衡 / 共形場理論

【研究成果の概要】

この企画研究では場の量子論、量子統計力学の数学的研究の研究状況を調査し、近い将来、日本国内で国際研究集会を開催する可能性を検討した。8月上旬に研究分担者および関連した分野の研究者と集中的に研究連絡を行った。2003年3月にマルセイユで行われるワークショップに1週間参加して情報収集を行う。科学的面から判断して、以下の研究会のテーマとして適当である。
(1)部分因子環理論を使った共形場理論の研究:この分野で近年顕著かつ独創性に富むな成果としては、Feng Xu(カルフォルニア大学)、河東泰之(東京大学)らの研究がある。Feng Xuは、Wess-Zumino-Witten模型から定まる部分因子環と、頂点代数理論を結び付け、組み合わせ的な問題を解析的手法で解決している。河東は、部分因子環の理と2次元共形場理論セクターの構造解析を進める方法論を作っている。ヨーロッパの局所場の量子論の研究者により、Feng Xu-河東の研究の発展的応用が期待される。
(2)量子系における非平衡定常状態の研究:90年代に非相対論的場の量子論のハミルトニアンのスペクトル解析が進み埋蔵固有値の問題などこれまで数学的には厳密に扱えなかった問題の研究が進みつつある。これと独立にD.Ruelleはある種の非平衡定常状態の研究を提案しているが、上記のスペクトル解析の成果を応用することで解決の可能性が出てきた。この方面の研究は日本とヨーロッパで独立して行われている。国際研究集会を日本で開催することで、より深いレベルの情報交換が行われると考えられる。
以上の状況をふまえ、この企画調査研究で想定した研究会を2-3年先をめどに行うのが妥当である。資金面や学術面で関連学会からの協力を得られるかどうかより実務的レベルの検討をこの1年をめやすに行いたいと結論した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2002

【配分額】3,400千円 (直接経費: 3,400千円)