【研究領域課題番号】21K03302 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

拡散過程 / 強ポテンシャル / 極限過程 / 確率論 / 古典力学系

【研究成果の概要】

「拡散過程の古典力学系による導出」という研究課題において、関連性の高い問題として、強いポテンシャル関数を持つ確率微分方程式の解の極限挙動を調べるという問題を研究した。具体的には、粒子の位置と速度はハミルトニアン系に抵抗力及びランダム性の効果を入れることにより与えられる確率微分方程式で記述されるモデルに対して、ポテンシャル関数は single-wellである場合を考え、ポテンシャル項の係数が無限大に発散するとき、粒子の挙動の極限を調べるという研究を行った。
この場合、粒子の総エネルギーを考えれば分かるように、粒子がポテンシャル関数の吸収域に入った途端、粒子の速度は非常に速くなる。よって、ポテンシャル項の係数が無限大に発散するとき、粒子の位置を表す確率過程そのものの極限を考えるのは無意味であり、その代わりに、粒子の位置の分布を考える必要がある。１次元の場合についてこの問題は解決されているが、多次元の場合についてはまだ解決されていない。
今年度は、上述のように、多次元において、強いポテンシャルを持つ場合の極限挙動を研究した。特に、多次元の場合、１次元の場合とは違い、粒子位置の分布そのものを考えるのではなく、位置を原点からの距離及び方向という二つの成分に分解し、それぞれを考える必要があるので、さらに精密な評価が必要である。今年度は、原点からの距離を表す確率過程の具体的な式を特定し、その挙動を調べるのに適切な停止時刻を導入することにより、具体的な評価を行った。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2021-04-01 - 2026-03-31

【配分額】2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】17K05290 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

拡散過程 / 古典力学系 / 収束 / 確率過程の収束 / 低次元 / ブラウン運動 / 総エネルギー / 確率論

【研究成果の概要】

理想気体に置かれた重粒子が、環境軽粒子達とノン・ランダムな古典ニュートン力学に従い相互作用をしながら動く系について研究した。このとき、再作用の可能性により、重粒子の挙動はマルコフ性すら持たない。本研究では、粒子間相互作用はコンパクトな台を持つあるポテンシャル関数によって与えられる斥力であるモデルについて、軽粒子の初期エネルギーが下から有界であるという仮定の下で、軽粒子達の質量が０に収束するとき、重粒子の挙動を表す確率過程はある拡散過程に収束することを証明した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2017-04-01 - 2022-03-31

【配分額】2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)

【研究分野】解析学、応用数学およびその関連分野

【研究領域課題番号】17K18741 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ネヴァンリンナ理論 / 有理形関数 / 値分布論 / Liouville型定理 / 劣調和関数 / ディリクレ形式 / 正則写像 / 拡散過程 / リューヴィル型定理 / リーマン・ロッホの定理 / 確率解析 / 関数論 / 確率論

【研究成果の概要】

正則写像の値分布の研究における中心的手法であるネヴァンリンナ理論を確率論的方法を用いて一般化することにより、一般領域上の有理形関数に対するネヴァンリンナ理論、特に第2主定理を示した。この一般化の過程で、マルチンゲール理論に現れる破綻関数の概念を関数論の研究に導入した。これを用いて、劣調和関数や調和写像が適当な幾何学的条件下では定数写像しか存在しないというリュービル型定理を得た。さらに発展的な研究展開として、コンパクトリーマン面上のリーマン-ロッホの定理の類似を無限遠の小さい無限グラフ上で示した。

【研究の社会的意義】

本研究は、ある種の古典的関数論とそれに関連する現代の新しい数学の研究分野において、確率過程と関連する確率論的手法が両者に通底する数学的概念として存在することを示している。このような観点から研究することは、今まで関数論の研究対象とされてきた多様体に限らず、特異性を持つ空間やグラフ・ネットワークなど、より広範な空間上の研究対象へ古典的関数論の手法と概念を拡大できる可能性を与えるものと思われる。

【研究種目】挑戦的研究(萌芽)

【研究期間】2017-06-30 - 2022-03-31

【配分額】4,940千円 (直接経費: 3,800千円、間接経費: 1,140千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】15H03625 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / ディリクレ形式 / 局所構造 / 拡散過程 / 確率過程 / 幾何構造 / マルコフ過程 / 幾何学

【研究成果の概要】

確率論の研究において，確率微分方程式の理論と相補的な関係にあるディリクレ形式の理論の基礎的な進展を与えた．特に，ディリクレ形式が定める局所構造に基づく空間構造と確率論との関わりを1つの主要なテーマとする成果を挙げた．フラクタルのような，滑らかとは限らず，通常の微分の概念が定まっていないような状況にも有用となることを念頭に置いた理論展開を行った．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2015-04-01 - 2019-03-31

【配分額】11,960千円 (直接経費: 9,200千円、間接経費: 2,760千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】21740063 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 拡散過程 / ハミルトニアン / 相対効果 / 古典力学系 / 波環境 / 理想気体 / マルコフ過程 / Black-Scholes model / implied volatility / 誤差評価

【研究成果の概要】

理想気体環境に入れられた二つの重粒子が、環境軽粒子達とナン・ランダムな相互作用をしながら動く系について、 軽粒子の質量が0に収束するとき、重粒子達の挙動を考えた。特に、二つの重粒子が異種類の場合については、ある反射壁を持つ拡散過程に収束することを証明した。また、同種類でありかつ重粒子達の挙動には相対効果がある場合については、対応している確率微分方程式族の極限を考えることにより、問題にしている極限過程の候補となる確率過程を具体的に求めた。波環境についても同問題を研究した。

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2009 - 2012

【配分額】4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】18740041 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 拡散過程 / 古典力学系 / 量子場 / $\phi_34$-モデル / ウィック・パワー / フリー量子場 / ウィック指数関数 / Hida分布 / Hoegh-Krohnモデル / ラテス近似 / $ phi_3^4 $-モデル / 部分積分公式 / Levy-Khinchine表現

【研究成果の概要】

一定の初期条件に従う無限個の原子を含む理想気体と呼ばれる環境に分子を入れ、原子達と分子達間の相互作用は古典力学に従うという系について、分子達の挙動を考える。一定の条件の下で、解の一意存在性、そして原子達の質量が0に収束するときの収束性及びその収束先を研究した。本研究の一番のポイントは、原子達が独立であるという今までよく使われていた不自然な仮定を課さないことである。

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】3,400千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 300千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】17340023 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / ファイナンス、リスクの計量化 / 数値数学 / CTE / リスク尺度 / 転換社債 / 楠岡近似 / 漸近展開 / マリアバン解析 / デリバティブ / 独立同分布 / 市場リスク / オペレーショナルリスク / 中心極限定理 / 独立変数の和 / フアツトテイル / 株式価値の希薄化 / 積分の変数変換公式 / リスクの計量化 / 拡散過程 / バリューアトリスク / 数値計算 / 法則普遍性 / 保険 / 吸収壁 / ディリクレ境界条件 / 法則不変性

【研究成果の概要】

(1) 離散時間多期間リスク尺度の時間間隔をゼロに近づけたときの極限の研究した、及び法則不変な凸リスク尺度の特徴付け定理の簡略な証明を与えた
(2) 同分布を持つ独立な確率変数の和に関する研究
(3) 拡散過程に関する期待値を高速に求める手法の研究

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2005 - 2008

【配分額】11,630千円 (直接経費: 10,100千円、間接経費: 1,530千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】17340034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

解析学 / 関数方程式論 / 解析・評価 / 関数解析学 / 確率論 / 放物型方程式 / 熱核 / 積分表示 / 楕円型方程式 / グリーン関数 / 半小摂動 / マルチン境界 / 非負値解 / 小摂動性 / 拡散過程 / 漸近解析 / 楕円形方程式 / 正値解 / 一意性

【研究成果の概要】

放物型偏微分方程式に対する初期値・境界値問題の非負値解の一意性定理を応用して、歪積型楕円型方程式のマルチン境界を決定する方法を与えた.また、リーマン多様体上の筒状領域での2階放物型偏微分方程式の非負値解の構造を精力的に研究し、熱核に対する一般的な仮定IU「intrinsic ultracontractivity]の下で任意の非負値解の具体的な積分表示を与えた.さらにIUから[定数関数1が随伴楕円型作用素の小摂動である]ことが従うことも示した.一方、土田哲生とともに周期係数楕円型作用素を研究し、グリーン関数の漸近形を与えるとともに極限吸収原理を示した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2005 - 2008

【配分額】6,900千円 (直接経費: 6,000千円、間接経費: 900千円)