【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】10304009 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

解析性 / 逆問題 / 再生核 / 積分変換 / 微分方程式 / 数値解析 / リーセン面 / クライン群 / リーマン面 / フライン群 / 解析関数 / 等角写像 / ポテンシャル / 値分布理論 / 偏微分方程式

【研究成果の概要】

(1) 複素数値をとる「任意の関数を係数とする線形微分方程式」の解の存在を論じる方法,存在するときは,解を構成する方法を発見した.しかし,この新しい方法についてはまだ,成果が具体的ではなくさらなる検討が必要である.しかしながら,発想が新規で自然,面白いので,今後検討を続けていきたい.
(2) 時間に依存する多くの線形偏微分方程式の解において,時間と空間の局所的な情報から,初期値や初速度を求める方法を発見した.従って,解の全体の情報はそれらの局所的な情報で求められることになる.楕円型方程式の解についても同様な公式を確立した.これは研究課題に直接関係する「関数の解析性」と「逆問題」,および「偏微分方程式の解」を結び付ける具体的な成果である.この楽しい原理を「聴診器の原理」と名付けた.
(3) 抽象的なHilbert空間達に,線形変換を通して,和,積,微分,積分等の演算を導入する概念を得,特に「convolution」の一般的な概念を得て,「Youngの不等式」より簡潔な不等式を確立した.
(4) 等角写像,関数論の面では,解析関数の表現について,局所的な情報で解析的な任意の点での値を求める自然な公式を,Riemannの写像関数を用いて,森正武教授とともに確立した.さらに,天野一男氏達と,これらの表現における「収束の速さを評価する」新しい原理を得た.
(5) Laplace変換のreal inversion formulasの研究を続け,共同研究者達と「一様収束する公式を得るために,Sobolev spacesのLaplace変換のreal inversion formulasの公式」を,「real inversion formulasにおける誤差評価の公式」を,さらに「conditional stability」が成り立つ関数空間の特定」を確立した.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1998 - 2000

【配分額】31,900千円 (直接経費: 31,900千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】08640175 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形 / 偏微分方程式 / 特異性 / 超局所解析 / シュレデインガー方程式 / 超関数 / 波動方程式 / ポテンシャル

【研究成果の概要】

1.片岡は非線形の演算を許す超関数のクラスとしてフランスのColombeauによるいわゆる一般関数の理論を超局所解析の立場から研究し,富川との共同研究の中で,従来の弱い同値関係のままでは(佐藤超関数の枠内でさえ解を持たないことがわかっている)Levy-溝畑型の方程式を含むほとんどの方程式がColombeau関数内に自明な弱い解をもつことになってしまうが,片岡があらたに導入した弱い同値関係の下ではLevy-溝畑型の方程式は弱い解を持たない事が,周期性などの付帯条件なしにF.B.I.変換を利用して証明することができた.このことは片岡の弱い同値関係が従来のものの本質的な改善になっていることを一層強く示している.
2.堤は非線形波動方程式に関して研究し,非線形シュレデインガー方程式の場合において、解の正則性と非線形性の関係を調べ,シュレデインガー方程式においては,ゲージ不変性が大きな役割を果していることを解明した。そして、ゲージ不変性に関連したある種の対称性を持つ場合には,解の正則性が良くなることを証明した。ここでローレンツ不変性に関連したある種の対称性を持つ非線形性の場合には、解の正則性について特別な結果が成立することが、KlainermanとMachedonの研究により知られていた.
3.谷島は時間によって変化する係数をもつSchrodinger方程式を研究し,基本解の正則性および非正則性に関する結果を得た.
4.長田はDirichlet形式論を使って相互作用をもつ無限次元Weiner過程を構成した.この方法の利点はhard coreポテンシャルやLennard-Jones 6-12ポテンシャルなどの特異ポテンシャルの場合に応用できることである.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1996

【配分額】2,100千円 (直接経費: 2,100千円)