【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】12440045 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Oseen方程式 / 平行平板中の流れ / ストークス作用素 / 流れの安定性 / レゾルベント問題 / 非圧縮性粘性流体 / 圧縮性粘性流体 / 自由境界値問題 / 数学 / 基礎解析 / n-dim. Navier-Stokes equation / Stability / Ossen equation / Compressible fluid / 2 phase problem for the Stokes eq. / Ginzuburg-Landau-Maxwell eq. / Perfect wall conditon / Stokes eq. in the half space / Infinite layer domain / Ginzburg-Landau方程式 / 定常解の安定性 / Perfect wall condition / Stokes方程式 / オゼン方程式 / ストークス方程式 / 弾性体の方程式 / 2相問題 / 安定性 / 重み付き評価

【研究成果の概要】

1.無限遠方に流速がある場合の非圧縮性粘性流体の安定性に関して次の成果を得た.
(a)外部領域でのOseen方程式の定常問題をローレンツ空間で考察し,解の一意存在を示しさらに,解の評価が無限遠方の流速に依存しないことを示した.これを用いて非線形問題の定常解の存在と流速が0に収束にするときの定常解の弱位相での収束を示した.
(b)外部領域でのOseen semigroupの時間に関するdecay評価を無限遠方での流速に独立な形で求めた.これを応用して定常解の初期値に関する安定性を示した.これらの研究は空間時限が3次元以上の仮定のもとで行われた.
2.平行平板中の非圧縮性粘性流体の流れの安定性に関し次の成果を得た.
(a)ストークス作用素に対するレゾルベント問題を領域Ω=R^<n-1>×(0,1)で考えそのL^p理論(l<p<∞)を構築した,X_n方向が有限であることからλ=0もレゾルベント集合に入る事を示した.特にストークス半群は指数安定である事を示した.
(b)(a)の結果を用い平行平板中のクエット流やポアズイ流の初期値の摂動に関する安定性を示した.
3.圧縮性粘性流体の定常流とその安定性に関する数学的解析に関して次の事を示した.
(a)外力が空間変数に依存する場合の定常解を求め,その空間無限遠方での挙動を求めた.
(b)上記定常解からの摂動問題として非定常問題を捉え,初期値のH^3ノルムが小である場合に初期値問題を解いた.さらに対応する線形化問題の解のローレンツ空間での評価を求め,これを応用して非定常問題の解の定常解への時間無限での収束のオーダーを求めた.以上の解析は全空間で行った.
4.ストークス作用素に対するNeumann境界値問題の研究に関して次の結果を得た.
(a)レゾルベント問題を考えL^p(l<p<∞)空間での解の存在,一意性および評価を求めた.
(b)同様の手法を用いてストークス作用素の2相問題に対するレゾルベント問題のL^p(l<p<∞)空間での解の存在,一意性および評価を求めた,これらの研究はナヴィエ・ストークス方程式の自由境界値問題を半群の理論を用いて研究をするための出発点となる研究である.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2000 - 2003

【配分額】14,600千円 (直接経費: 14,600千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】09440047 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

3次元外部領域 / Navier-Stokes方程式 / physically reasonable solution / 安定性 / 2次元外部領域 / L_p-L_q評価 / Stokes半群 / Oseen半群 / 非圧縮性粘性流体 / 圧縮性粘性流体 / L_<p,∞>空間 / diffusion wave / 2相問題 / Ginzburg-Landau方程式 / 非定常問題の安定性 / 定常問題 / 楕円型評価 / Besov空間 / Littlewood-Payley分解 / 外部問題 / L_p-L_q decay評価 / 漸近挙動 / 実解析

【研究成果の概要】

(1)3次元非圧縮性粘性流体の運動を記述するNavier-Stokes方程式の外部問題を考えた. 1930年代のJ.Lerayの研究により弱解の存在は知られている. しかしLerayの弱解からは解の定性的な性質は分からなかった. 1950年代初頭にR.Finnにより定常問題に対しphysically reasonable solution(prs)の概念が導入され外力と無限遠方の流速u_∞が小さい場合にその存在と定性的な研究が行われた. Finnのprsの初期摂動に関する安定性と時間無限での定常解への収束を研究することが次の問題となり, L_2枠ではHeywoodにより解決され, その後の数値解析の重要な基礎となっている. しかし, prsはL_2には属さないので, それが属する空間での初期摂動の問題が30年以上問題として残っていた. このたびの研究によりこれを解決した. 方法は外部領域におけるOseen近似を行い, その方程式に関し, 境界近くでのlocal energy decayの最良評価を対応するレゾルベントの原典近くでの分数べきの正則性を求めることで示した. これと全空間でのL_p-L_q評価をcut-off techniqueを用いて合わせ, 最良のL_p-L_q評価を外部領域で求めた. この時, 評価に現れる定数がu_∞に無関係であることが重要である. この評価を基に, prsのL_3空間での初期摂動に関する安定性を示し, Finnの問題を完全に解決した.
(2)2次元外部領域ではLerayの弱解は一意であることが知られており, 存在と一意性については3次元と異なり解決されている. しかし, 解の定性的な解明は線形化問題の基本解にlogarighmic singularityが現れるため3次元の場合と違い満足のゆく研究がなされていなかった. 我々はStokes resolventの原点近くでの漸近展開を求め, 境界での反射によりlogarithmic singularityは消滅していることを発見し, 3次元と同様の方法によりStokes半群のL_p-L_q評価(1<q≦p≦∞)を求めた. さらに, これを応用して, 2次元外部領域でのNavier-Stokes方程式の弱解のL_∞ノルムでの時間無限での0への収束の度合いを最良な形で求めた.
(3)(1)で開発した方法を拡張し, 3次元圧縮性粘性流体の方程式の線形化問題の解の最良なL_p-L_q評価を求めた. また, これを応用して元の非線形問題の時間無限での解の漸近挙動を最良の形で求めた.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1997 - 1999

【配分額】13,700千円 (直接経費: 13,700千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】08640149 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ギンツブルグランダウ方程式 / 安定性 / 力学系 / ホップ分岐

【研究成果の概要】

1.ギンツブルグ-ランダウ方程式の安定解の構造:
領域を著しく変形したときに特徴的に現れる安定定常解を構成した.またさらに変形極限の方程式との関係を線型化固有値問題まで込めて導いた.次に,不均質媒質のモデルとされる変数係数のギンツブルグランダウ方程式の非一様安定解を構成した.また,非一様性によるゼロ点のピン止め効果により生じる安定定常解を構成し,さらに,与えられた点配置にたいし安定解のゼロ点の近似配置が可能であることを示した.また,近似配置を完全精密配置にできることを示す方法をなかば確立した.
2.複素ギンツブルグ-ランダウ方程式の作る力学系の構造:
流体現象(ベナ-ル対流)から導かれる非定常複素係数ギンツブルグランダウ方程式の解の挙動と周期解,不変集合の構成や分岐などを研究した,とくにS^1上においてはホップ分岐とともに安定な準周期解が生じることを示した.一般の有界領域の場合においては周期解を構成した.さらに,線型化安定性解析を行い,限られたパラメータ範囲での安定性を示した.さらにそれ以外の範囲におけるホップ分岐の可能性を探った.いまのところ,ゼロ点のない解について精密な挙動がわかっている.ゼロ点のある解については分岐によってゼロ点が運動する状況を解析した.また領域変形による力学系の不変集合の極限問題等の問題を考えた.
3.領域の特異変形と固有値問題:
有界領域から余次元2以上の部分多様体の管状近傍を取り除いてできる領域上のラプラシアンの固有値の摂動問題を研究した.すでにある小沢真,Courtois らの結果を一般化した.また,電磁場の固有振動の問題についても同様の研究を行った.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1996

【配分額】2,500千円 (直接経費: 2,500千円)