【研究領域課題番号】20H01822 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

深層学習 / 数値解析的アプローチ / ニューラルネットワーク / 数値解析 / 微分方程式 / 数値積分 / 関数近似

【研究成果の概要】

申請計画書にあるように本研究計画は数値微分方程式班と関数近似・数値積分班の２つの作業班を軸とし，それに俯瞰・統合班および深層学習協力者を加えて全体を構成するものであり，そしていくつかのフェーズからなるものである．そして第１フェーズは統合班の指揮の下，各班で以下の実験的研究を行う予定であった．
まず，数値微分方程式班は「微分方程式の数値解法に基づく実験的DNN構築」を標語として計画を構成していた．これは，ResNet だけでなく類似 DNN （PolyNet，FractalNet等）も数値解法と関連づけられる可能性が示唆されていたがその先にある「数値解法から生まれる新DNN」は極めて最近調査が始まったばかりであることから，数値解析学の観点から，実際に新しいDNNを構築し画像認識等でその性能を評価するものであった（例えば異なる近似精度のRunge-Kutta法を試し性能を比較する）．これらの計画に対し該当班は予備的な調査過程として実験的DNNを構築しその性能評価等を開始している．
また，関数近似・数値積分班は「数値積分公式に基づく実験的DNN構築」という標語のもとに計画をたてていた．これは，数値積分公式に基づく観点からの新たなDNN構築の可能性が未解明であることから種々の数値積分公式の適用・開発によるこの可能性を調べるものである．本申請グループにはすでにその試みの実績がある（たとえば，一段NNにおける被積分関数に対して適切な重み・分点の組を数値解析学的に定めるアルゴリズムを考案している）ことからこの方向性で研究を発展，推進するものである．そして実際，DNNにどのような公式が真に有用であるかについて検証が必要であることから本段階でこの検証に取り掛かり，新たなDNNの構築に向けて検討を繰り返しているところである．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2020-04-01 - 2024-03-31

【配分額】17,420千円 (直接経費: 13,400千円、間接経費: 4,020千円)

【研究分野】数学基礎・応用数学

【研究領域課題番号】15K13461 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数値解析 / 解の爆発 / 爆発レート / 領域爆発 / 爆発曲線 / 再爆発現象 / 確率微分方程式 / 関数微分方程式 / スケール不変性 / 爆発解 / 非線型現象 / 微分方程式 / 爆発オーダー / 爆発領域 / 非線形偏微分方程式 / 数値計算法

【研究成果の概要】

微分方程式の解の大きさが有限時間で無限大に発散する現象を爆発現象という。本研究では、これまで研究が進んでいなかった爆発曲線・領域爆発・再爆発現象といった爆発現象に焦点をあて、これに対する数値計算の方法を提案し、これらに対する理論的研究と平行して数値計算を進め、いくつかの予想を立てることが出来た。更に、一部の予想については研究期間内に数学的に証明を行うことができた。

【研究種目】挑戦的萌芽研究

【研究期間】2015-04-01 - 2018-03-31

【配分額】3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】20760052 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理工学 / 数値解析 / シミュレーション / 保存・散逸スキーム / 微分方程式 / 離散変分法 / 微分方程式の数値解法

【研究成果の概要】

本研究は,国産の数値手法である「離散変分法」を有限要素法に拡張することを目的としていたが,その中で以下の知見を得た.
まず,本研究において空間1次元の場合にH^1の枠組みで有限要素法版離散変分法が構成可能であること,およびいくつかの代表的な偏微分方程式(非局所作用素を含む方程式を含む)に対して適用し,実際に保存則を保つ数値計算が可能であることを示した.またこの枠組みが空間2,3次元の場合にも基本的に拡張可能であることを示した,特に2次元磁場無しのGinzburg-Landau方程式(超伝導現象を記述する方程式)の場合に,実際にスキームが動作することを確認した.また計算の高速化のため,新たに線形化する手法も開発し,その有効性を確認した.

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2008 - 2010

【配分額】4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】10304009 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

解析性 / 逆問題 / 再生核 / 積分変換 / 微分方程式 / 数値解析 / リーセン面 / クライン群 / リーマン面 / フライン群 / 解析関数 / 等角写像 / ポテンシャル / 値分布理論 / 偏微分方程式

【研究成果の概要】

(1) 複素数値をとる「任意の関数を係数とする線形微分方程式」の解の存在を論じる方法,存在するときは,解を構成する方法を発見した.しかし,この新しい方法についてはまだ,成果が具体的ではなくさらなる検討が必要である.しかしながら,発想が新規で自然,面白いので,今後検討を続けていきたい.
(2) 時間に依存する多くの線形偏微分方程式の解において,時間と空間の局所的な情報から,初期値や初速度を求める方法を発見した.従って,解の全体の情報はそれらの局所的な情報で求められることになる.楕円型方程式の解についても同様な公式を確立した.これは研究課題に直接関係する「関数の解析性」と「逆問題」,および「偏微分方程式の解」を結び付ける具体的な成果である.この楽しい原理を「聴診器の原理」と名付けた.
(3) 抽象的なHilbert空間達に,線形変換を通して,和,積,微分,積分等の演算を導入する概念を得,特に「convolution」の一般的な概念を得て,「Youngの不等式」より簡潔な不等式を確立した.
(4) 等角写像,関数論の面では,解析関数の表現について,局所的な情報で解析的な任意の点での値を求める自然な公式を,Riemannの写像関数を用いて,森正武教授とともに確立した.さらに,天野一男氏達と,これらの表現における「収束の速さを評価する」新しい原理を得た.
(5) Laplace変換のreal inversion formulasの研究を続け,共同研究者達と「一様収束する公式を得るために,Sobolev spacesのLaplace変換のreal inversion formulasの公式」を,「real inversion formulasにおける誤差評価の公式」を,さらに「conditional stability」が成り立つ関数空間の特定」を確立した.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1998 - 2000

【配分額】31,900千円 (直接経費: 31,900千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】07640173 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

微分方程式 / 離散化 / 数値解析 / 誤差解析 / 有限要素法 / 数値実験

【研究成果の概要】

本研究では、微分方程式の数学的研究を基礎とする数値計算法の開発、解析、実証、さらには数値シミュレーションによる微分方程式の解の性質の解明などへのフィードバック等を目的とする。特に固体力学(なかでも平板の面内伸および面外曲げ問題)、流体力学、電磁場問題など、工学、産業からの要求の高い分野での数値計算法の開発、検証を目指し、工学者の対応のみでは限界に達している分野に何らかの解決の糸口を見つけけることを目指した。
本年度の研究では、等に工学などで広く用いられている有限要素法等を、偏微分方程式の数値解析手法としてとらえ、計算法の考案、有限要素モデルの開発、改良と評価、数学的な誤差解析などを実施した。
まず、有限要素法モデルの開発と改良の研究を実施した。特にセレンディピティ要素の改良と誤差評価、板曲げ用の有限要素の開発と数値実験などに力点を置いた。前者については、8節点2次セレンディピティ要素の改良法を考案し、研究しさらにその誤差評価を実施し改良が実際に有効なことを確認している。後者については、各種の要素の開発と検証を実施している。とくに、混合法において時に生じる数値的不安定性を解消するため一種の安定化法を考案し、四辺形要素を開発した。得られた要素の一部は形状最適化プログラムOPTISHAPEのプログラムライブラリーに組み込まれ、一般ユーザーが利用できるようになっている。また、開発にあたっては、数値解析装置の備品を有効に活用した。
そのほか,従来からの研究課題である静磁場問題の解析法の研究を継続している。また分担者と協力して、有限要素法の数学的定式化と誤差評価などの数学的基礎の研究をすすめ、とくにLarangeの未定乗数法に基づく有限要素法である混合型有限要素法の各種の応用などを目指している。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1995

【配分額】2,200千円 (直接経費: 2,200千円)