【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】15634005 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

逆問題 / 非適切問題 / 応用逆問題 / 応用解析 / 数値解析 / 材料工学 / 医用工学 / 断層撮影法

【研究成果の概要】

本課題研究は、逆問題の分野で特定領域申請を将来行なうことの可否・妥当性に対する調査を行なうことが目的であった。結論は、極めて近未来に逆問題解析に関して特定領域申請を行ない、理学・工学・医学の分野横断的な研究発展を目指すことが重要と考えられる。
応用逆問題は、非破壊検査・医用CT・各種断層撮影と極めて多岐にわたるものである。そしてその研究進展には、これまでの他の計算工学など以上に、最近の数学・数値解析の諸結果の効率的な反映が不可欠と考えられる。殆どの逆問題は数学的にはHadamardの意味での非適切問題(ill-posed problem)であり、通常の意味での近似の適用が不可能である。この事実は経験的に多くの分野で知られており、逆問題の解析に対して物理・工学・医学の各分野では、それぞれの分野で固有の先験情報を考慮することによって非適切性の排除を試みている。しかしながら、これまでの研究の多くは、個別論に埋没したアドホックなケースも多く、さらに数学的には誤った理論を誤用している場合も見られる。このような問題を解決して研究の一層の進展を図るには、分野横断的なブレークスルーを図り、さらに数学の視点から先験情報の構造を解析することが有効であると考えられる。
我が国においては、学問においても縦割り的な様相が強く、複数の分野を横断的に纏めた研究を行なうためには、現在の枠組みでは特定領域の制度を活用することが合理的であると考えられる。さらに、分担者による各学会の逆問題解析研究者の意見収集では、応用逆問題に関しては分野横断的に研究を行なえるだけの個別の実績が有ると判断される。
さらに、我が国の科学技術戦略として、組織規模まで同定できる医用断層撮影技術や地雷探査等の戦後処理技術の確立が議論されているが、これらの技術革新は応用逆問題の適用例であり、逆問題解析の研究レベルの向上は我が国の近未来の方針とも合致するものと判断される。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2003

【配分額】2,700千円 (直接経費: 2,700千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】15340027 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

逆問題 / 数学解析 / 数値解析 / 不安定性 / 正則化 / 応用逆問題 / 数値解法 / 正則化法 / 安定性

【研究成果の概要】

直接視ることができない対象の内部の物理的な性質を境界における観測などの利用できるデータから決定したり、結果から原因を推定するという逆問題の研究が数理科学や工業現場において多様な形で現れてきており、その数学解析とそれに基づいた数値解析手法の開発が最近益々重要になってきている。その理由としては、逆問題の応用上の重要性とあいまって、計算機や観測機器が近年飛躍的に向上してきたことがある。そのために従来型の数値解法の改良が強く期待されている。しかし、数値解法の開発や品質保証のためには逆問題自体の数学も遂行されなくてはならないが、あまり成果が挙がっていないのが現状である。例えばプラントなどの内部の状態を適切に評価・制御して効率的かつ経済的な施設の運営に結びつけるような産業界における逆問題には本質的な不安定性があり、合理的かつ有効な数値解法のためには、従来型の手法をあてはめることは危険である。言い換えれば、良好な数値解を得るためには、もとの逆問題に安定性の度合いにみあった精度を保証する数値解法を選ぶ必要がある。そこで対象となっている個々の逆問題に対して一意性や安定性などの数学解析の研究がまず必要である。本研究ではそのような逆問題の数学解析の成果とそれに立脚した有効な数値解法が開発された。数学解析の手法としても偏微分方程式論や関数論など知識を駆使した多彩な成果が得られた。さらに本研究成果に関して産業界との連携が深まり、特許の出願が成された。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2003 - 2006

【配分額】13,900千円 (直接経費: 13,900千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】14604005 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

応用逆問題 / 数学解析 / 数値解析 / 共同研究体制

【研究成果の概要】

本申請の目的は、2003年に開催予定の国際会議「応用逆問題」の準備のために、国内研究者の研究連絡を緊密にし、さらに海外研究者の動向を調査することが目的であった。計画されている会議においては、最近特に数学解析ならびに数値解析が進展している応用逆問題の国際共同研究において、日本が中心的な役割を果たすことを目指した。応用逆問題は各種産業を支える技術に限らず、我々の日常生活と密接に関わり、研究はここ数年さらに一層の広がりをみせており、異分野において研究が独立に進められることも多い。そのため特に研究動向の調査が特に必要であり、このために研究者の招聘や専門的知識の提供を広く求めた。また、海外の研究動向を直接調査するため、分担者の西田、山本、斎藤がロシア・ドイツ・台湾などに10日程度の海外出張を行った。また工学などの既存の分野を越えた共同研究が我が国ではようやくは盛んになってきたものの、欧米諸国に較べるとまだ満足すべき体制にはないので、我が国における応用逆問題の共同研究体制の整備を目指して分野を横断する形で最新の話題に関して外国人の研究者を招聘してサーベイを行った。その結果、我が国において応用逆問題の研究者の体制を来るべき国際会議に向けて適切に更新し、整備できたと評価している。また、本研究計画での知見をいかして、代表者は逆問題の研究のあるべき姿を模索し結果を単行本の形で出版した(以下の欄を参照)。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2002

【配分額】3,400千円 (直接経費: 3,400千円)