Discovery Sagaサイレントキーワード俯瞰

数値解析 / 偏微分方程式 / 構造保存解法

本研究ではこれまで知られていた構造保存解法をさらに進化させ，高速かつ実用的な手法に昇華させることを目的とした．本研究を通じて，「不連続Galerkin法に基づく高速な構造保存数値解法の基礎的構築」，「力学系理論に基づく構造保存解法の安定性解析手法の開発」，「動的格子法の導入」，「混合微分を含む偏微分方程式に対する構造保存解法の提案」を行った．以上を通じて，構造保存解法はさらに一段深化した．

構造保存数値解法 / 偏微分方程式 / 差分法 / 変分理論 / 離散変分導関数法 / 数値解析 / 構造保存解法 / 国際研究者交流 / 差分変換行列

離散関数解析，変分理論の構成についてわれわれは研究を行い、微積分作用素間関係の離散的対応と差分作用素のなす空間における差分変換行列の概念を提唱、数学的評価を行うとともに、これらの結果を用いて一定の微積分不等式の離散版を統一的に証明するとともに、それらを成立させる数学的条件などについて研究を進めた．証明技法に関する議論により数学的制約の理解を深め、本議論がより広い関数空間で成り立つ強い示唆を得た．また、変分理論で用いる主要な概念の離散定義を拡張する研究も推進した．これにより、グリーン定理などの基本関係式の離散版に基づき離散変分理論概念を拡張し、差分法のさらなる数学的基盤を定義した

偏微分方程式論 / 確率論 / 解析学 / 変分法 / ボース・アインシュタイン凝縮 / 確率解析 / 数値解析 / 国際研究者交流（フランス・イタリア） / 偏微分方程式 / BEC

グロス・ピタエフスキー方程式に時間のみに依存するホワイトノイズが摂動に加わった方程式について, 安定な渦に対するノイズの影響を変調パラメータ解析により計算し, 変調パラメータがどのくらい長い間意味を持つか, ノイズの影響を受けながらも渦の初期状態がどのくらいの間保たれるのかを評価した. また, 半古典近似の考え方を用いて, 周期的光学格子にトラップされているボース・アインシュタイン波動関数の離散シュレディンガー方程式による近似を正当化した.　離散シュレディンガー方程式による近似を応用して, 粒子間相互作用が斥力の場合でも, 波動関数の局所化が現れる場合があることを数学的に証明した.

数値解析 / 偏微分方程式 / シミュレーション / 国際情報交換 / 国際情報交流

本研究の目的は，前研究により有限要素法と構造保存数値解法を結びつけて得られた「離散偏導関数法」を実用に耐えうるレベルまで引き上げるための基礎研究を行うことである．
本研究は第一に，Ｌ２射影作用素の概念を導入し，任意の偏微分方程式に対して常に機械的に構造保存有限要素スキームを構成可能であることを示した．これにより，ユーザーは所定の処方箋に沿うだけで自動的に構造保存有限スキームが可能になり，実用性が飛躍的に高まった．第二に，通常の有限要素法よりも計算コストが低く柔軟性が高い不連続ガレルキン法版の離散偏導関数法の原理を新たに提案した．

数値解析 / 偏微分方程式 / 保存則 / 散逸則 / 保存・散逸スキーム / 微分方程式の数値解法 / 離散変分法

1次元の問題に対して,保存・散逸性を保つGalerkinスキームの統一的構築の枠組みを完成した.この枠組みにおいて,従来重要とされてきた変分導関数の代わりに,偏導関数が同じく重要な役割を果たしうることを明らかにし,さらにその適切な離散化方法を提案した.この枠組みを利用して,KdV方程式,非線形シュレディンガー方程式など,代表的な種々の方程式を離散化し,実際に保存・散逸性が保持されることを確かめた.
さらに,計画立案時点では予期されていなかった,まったく新しいタイプの偏微分方程式に対しても,上記の枠組みが拡張可能であることを,追加の成果として発見した.これは時間微分項にさらに空間微分がかかっているCamassa-Holm型の方程式であり,従来,これに対する保存スキームは発見されていなかったが,本研究により初めて保存スキームの存在が確かめられ,実際に数値実験によりその有効性が示された.

応用数学 / 逆問題 / 非適切問題 / 数値解析 / 多倍長数値計算 / 高精度数値計算 / スペクトル法 / 数値計算 / 多倍長計算 / 偏微分方程式 / 任意精度計算

本課題研究では、偏微分方程式で記述される逆問題の中で、物理あるいは工学等において意味を応用逆問題に焦点を絞り、非適切問題の数学解析と数値解析の研究を行なうものである。特に将来の実用上の要請を考慮し、大規模な非適切問題の数値解析を高精度に行なうことを一つの目標とし、理論・アルゴリズム開発の他に高速多倍長計算環境の整備も研究対象としていることが特徴とも言える。
逆問題の数値シミュレーションを含む科学技術数値計算では、一般には有限桁の浮動小数点演算によって実数の近似と演算が計算機上で行なわれており、そこではIEEE754の基準により定義される倍精度方式が今日では一般的に利用されておいる。これは、数値計算の一般エンドユーザの利用環境では、10進法で約15桁の精度で近似された実数表現が前提であることを意味する。このため計算機上では丸め誤差は不可避な問題で、実数を厳密(exact)に扱うことは不可能であり、さらに微分方程式等の関数方程式の数値計算では離散化に誤差も当然考慮すべきものである。安定な計算スキームを期待させる適切(well-posed)な問題とは異り、逆問題で代表される非適切(ill-posed)問題では誤差の混入は信頼できる致命的であるが、これまでの非適切問題の数値解析研究では離散化誤差やデータに混入する観測誤差ばかりに議論が制限された嫌いがあり、丸め誤差まで踏む込んだ議論が十分とは言えなかった。本研究は、離散化誤差や観測誤差に関する先行研究を前提に、計算機の丸め誤差の挙動まで考慮し、理論的な考察のみならず、この問題を解決する新たな多倍長計算環境も構築していることが他の研究との大きな相違点である。さらに、高速な多倍長数値計算環境をひとたび導入した場合、函数方程式の離散化の高精度化もこれまでとは違う視点が生まれ、多倍長数値計算環境上での新しい計算手法の開発と確立も図られている。
具体的な成果は、本課題研究の先行研究で設計・実装されている高速多倍長数値計算環境exflibの整備を行ない、特に分担者・藤原宏志氏の研究により、科学技術シミュレーションへの活用を目指して特殊函数の組み込み化を図り、さらにはスーパーコンピュータ上でも稼働する計算環境の開発も行ない、成果を挙げた。また、従来の離散化手法よりも遥かに高精度なスペクトル法系列の離散化手法を多くの問題に適用し、多倍長数値計算環境と組み合わせて数値実験を行ない、提案の有効性を確認した。また、実用面での応用逆問題を意識し、観測誤差も考慮した問題への正則化法の適用も視野に入れた研究を行ない、混入する誤差と正則化パラメータ・丸め誤差の関係についての知見も得ている。
非適切性は問題固有の性質であり、逆問題に限ってみても、問題毎にその非適切性の発現は異っているため、個別の逆問題についての数学解析の研究を本課題研究の基礎研究と位置づけ、解の一意性や条件安定性に帰還する研究を行なった。この研究分担者・山本昌宏氏が逆散乱問題について精密な成果を得ている。また、また応用逆問題を目指して数学解析・数値解析の理論を実用問題に適用するには、実用問題を視野にいれた計算力学的な基礎研究が不可欠であり、分担者毎のテーマに沿って応用逆問題の個別的研究を行なっている。さらに、高速多倍長数値計算環境の将来の応用の一つとして計算機支援証明の研究も取り上げ、精度保証数値計算の研究も課題研究の一環として行ない成果を得た。
なお、この分野でのアジアの研究者の共同研究を強化するため、中華民国(台湾)の研究者との研究交流を図るための日台共同セミナーを中華民国中央研究院数学研究所および台湾大学数学系と定期的に行ない、また、中国・韓国との研究者の交流も図り、将来の研究推進の基礎を築いた。

解析性 / 逆問題 / 再生核 / 積分変換 / 微分方程式 / 数値解析 / リーセン面 / クライン群 / リーマン面 / フライン群 / 解析関数 / 等角写像 / ポテンシャル / 値分布理論 / 偏微分方程式

(1) 複素数値をとる「任意の関数を係数とする線形微分方程式」の解の存在を論じる方法,存在するときは,解を構成する方法を発見した.しかし,この新しい方法についてはまだ,成果が具体的ではなくさらなる検討が必要である.しかしながら,発想が新規で自然,面白いので,今後検討を続けていきたい.
(2) 時間に依存する多くの線形偏微分方程式の解において,時間と空間の局所的な情報から,初期値や初速度を求める方法を発見した.従って,解の全体の情報はそれらの局所的な情報で求められることになる.楕円型方程式の解についても同様な公式を確立した.これは研究課題に直接関係する「関数の解析性」と「逆問題」,および「偏微分方程式の解」を結び付ける具体的な成果である.この楽しい原理を「聴診器の原理」と名付けた.
(3) 抽象的なHilbert空間達に,線形変換を通して,和,積,微分,積分等の演算を導入する概念を得,特に「convolution」の一般的な概念を得て,「Youngの不等式」より簡潔な不等式を確立した.
(4) 等角写像,関数論の面では,解析関数の表現について,局所的な情報で解析的な任意の点での値を求める自然な公式を,Riemannの写像関数を用いて,森正武教授とともに確立した.さらに,天野一男氏達と,これらの表現における「収束の速さを評価する」新しい原理を得た.
(5) Laplace変換のreal inversion formulasの研究を続け,共同研究者達と「一様収束する公式を得るために,Sobolev spacesのLaplace変換のreal inversion formulasの公式」を,「real inversion formulasにおける誤差評価の公式」を,さらに「conditional stability」が成り立つ関数空間の特定」を確立した.

逆問題 / 非適切性 / 安定性 / 数値計算 / 設計 / 偏微分方程式 / 積分方程式 / 正則化 / 適切性 / 数値解析 / 数理工学

本研究課題においては広領域にわたる研究組織の下で、数理工学において基礎方程式として現れる流体あるいはラプラス場、振動系における逆問題ならびに材料特性・負荷の決定に関わる逆問題についてその一意性ならびに安定性などの適切性の構造が数理解析的立場から解明された.さらに数理解析的成果から効率的かつ合理的な数値解析手法の開発にむけた研究がなされた。
工学とその関連分野における逆問題の研究に関して、数理解析と数値解析的側面の両面にわたる研究者の組織化が本研究課題の大きな特色であるが,それと同時に本研究組織には広い専門分野から分担者が加わっているので、先端工業技術などの支援のためにも機敏に適応し、総合的見地から寄与することが可能であった。
数理解析的側面においては、伝統的な数学解析の見地から不適切な問題とされて研究がなおざりにされてきたさまざまな逆問題の適切性の構造が解明された。本課題におけるこのような研究成果としては、カ-レマンによる偏微分方程式に関する古典的な評価による逆問題の解の一意性の成果および制御論によって逆問題の一意性から安定性を導く手法,非適切性成分の数学的研究などをあげることができる.逆問題の一意性に関しては,この分野の第一線にある研究者をアメリカ,ロシア,フランスなどから日本に招せいして集中的に討論・研究連絡を行なった.
これらの理論的成果は逆問題の数値解析に結合されるべきものであり、特に前項の非適切成分の研究などは信頼性のある数値解法のために応用されつつある.

【研究分担者】
松尾宇泰	東京大学	大学院情報理工学系研究科	教授	(Kakenデータベース)

【研究分担者】
西村直志	京都大学	情報学研究科	教授	(Kakenデータベース)
藤原宏志	京都大学	情報学研究科	助手	(Kakenデータベース)
大西和榮	茨城大学	理学部	教授	(Kakenデータベース)
今井仁司	徳島大学	工学部	教授	(Kakenデータベース)
山本昌宏	東京大学	数理科学研究科	助教授	(Kakenデータベース)
若野功	京都大学	情報学研究科	講師	(Kakenデータベース)
東森信就	京都大学	情報学研究科	研究員	(Kakenデータベース)
西田孝明	早稲田大学	理工学術院	教授	(Kakenデータベース)

【研究分担者】
森正気	山形大学	理学部	教授	(Kakenデータベース)
林仲夫	東京理科学	理学部	教授	(Kakenデータベース)
酒井良	東京都立大学	理学研究科	教授	(Kakenデータベース)
山本昌宏	東京大学	大学院・数理科学研究科	助教授	(Kakenデータベース)
志賀啓成	東京工業大学	理学部	教授	(Kakenデータベース)
相川弘明	島根大学	総合理工学部	教授	(Kakenデータベース)
水田義弘	広島大学	総合科学部	教授	(Kakenデータベース)
戸田暢茂	名古屋工業大学	工学部	教授	(Kakenデータベース)
佐藤宏樹	静岡大学	理学部	教授	(Kakenデータベース)

【研究分担者】
中村玄	東京理科大学	理学部	教授	(Kakenデータベース)
大西和榮	茨城大学	理学部	教授	(Kakenデータベース)
塩田隆比呂	京都大学	理学部	助教授	(Kakenデータベース)
磯祐介	京都大学	理学部	助教授	(Kakenデータベース)
西田孝明	京都大学	理学部	教授	(Kakenデータベース)
中桐信一	神戸大学	工学部	教授	(Kakenデータベース)