Discovery Sagaサイレントキーワード俯瞰

応用数学 / 逆問題 / 非適切問題 / 数値解析 / 多倍長数値計算 / 高精度数値計算 / スペクトル法 / 数値計算 / 多倍長計算 / 偏微分方程式 / 任意精度計算

本課題研究では、偏微分方程式で記述される逆問題の中で、物理あるいは工学等において意味を応用逆問題に焦点を絞り、非適切問題の数学解析と数値解析の研究を行なうものである。特に将来の実用上の要請を考慮し、大規模な非適切問題の数値解析を高精度に行なうことを一つの目標とし、理論・アルゴリズム開発の他に高速多倍長計算環境の整備も研究対象としていることが特徴とも言える。
逆問題の数値シミュレーションを含む科学技術数値計算では、一般には有限桁の浮動小数点演算によって実数の近似と演算が計算機上で行なわれており、そこではIEEE754の基準により定義される倍精度方式が今日では一般的に利用されておいる。これは、数値計算の一般エンドユーザの利用環境では、10進法で約15桁の精度で近似された実数表現が前提であることを意味する。このため計算機上では丸め誤差は不可避な問題で、実数を厳密(exact)に扱うことは不可能であり、さらに微分方程式等の関数方程式の数値計算では離散化に誤差も当然考慮すべきものである。安定な計算スキームを期待させる適切(well-posed)な問題とは異り、逆問題で代表される非適切(ill-posed)問題では誤差の混入は信頼できる致命的であるが、これまでの非適切問題の数値解析研究では離散化誤差やデータに混入する観測誤差ばかりに議論が制限された嫌いがあり、丸め誤差まで踏む込んだ議論が十分とは言えなかった。本研究は、離散化誤差や観測誤差に関する先行研究を前提に、計算機の丸め誤差の挙動まで考慮し、理論的な考察のみならず、この問題を解決する新たな多倍長計算環境も構築していることが他の研究との大きな相違点である。さらに、高速な多倍長数値計算環境をひとたび導入した場合、函数方程式の離散化の高精度化もこれまでとは違う視点が生まれ、多倍長数値計算環境上での新しい計算手法の開発と確立も図られている。
具体的な成果は、本課題研究の先行研究で設計・実装されている高速多倍長数値計算環境exflibの整備を行ない、特に分担者・藤原宏志氏の研究により、科学技術シミュレーションへの活用を目指して特殊函数の組み込み化を図り、さらにはスーパーコンピュータ上でも稼働する計算環境の開発も行ない、成果を挙げた。また、従来の離散化手法よりも遥かに高精度なスペクトル法系列の離散化手法を多くの問題に適用し、多倍長数値計算環境と組み合わせて数値実験を行ない、提案の有効性を確認した。また、実用面での応用逆問題を意識し、観測誤差も考慮した問題への正則化法の適用も視野に入れた研究を行ない、混入する誤差と正則化パラメータ・丸め誤差の関係についての知見も得ている。
非適切性は問題固有の性質であり、逆問題に限ってみても、問題毎にその非適切性の発現は異っているため、個別の逆問題についての数学解析の研究を本課題研究の基礎研究と位置づけ、解の一意性や条件安定性に帰還する研究を行なった。この研究分担者・山本昌宏氏が逆散乱問題について精密な成果を得ている。また、また応用逆問題を目指して数学解析・数値解析の理論を実用問題に適用するには、実用問題を視野にいれた計算力学的な基礎研究が不可欠であり、分担者毎のテーマに沿って応用逆問題の個別的研究を行なっている。さらに、高速多倍長数値計算環境の将来の応用の一つとして計算機支援証明の研究も取り上げ、精度保証数値計算の研究も課題研究の一環として行ない成果を得た。
なお、この分野でのアジアの研究者の共同研究を強化するため、中華民国(台湾)の研究者との研究交流を図るための日台共同セミナーを中華民国中央研究院数学研究所および台湾大学数学系と定期的に行ない、また、中国・韓国との研究者の交流も図り、将来の研究推進の基礎を築いた。

Tikhonov正則化法 / 逆問題 / 非適切問題 / 数値解析 / 多培長数値計算 / スペクトル法 / 区間演算 / Tikhonov正規化法 / 応用解析 / 第1種積分方程式 / 多倍長数値計算 / 正則化法 / Lカーブ法 / 多倍長計算 / 弾性方程式

本課題研究では「正則化法による数値解析」を広い意味で捉え、逆問題・非適切問題の解析手法の確立を目ざした幅広い視点からの研究を行ない成果を得た。
逆問題は医用CTや非破壊検査技術・ジオレーダー等の実用技術と関わる問題であり、その研究の進展は先端技術の革新と直結している。特に信頼できる数値解の構成は、実用上からも重要な課題となっている。その一方で、数学的には殆どの逆問題はHadamardの意味での非適切(ill-posed)であり、従来の数値解析手法の適用が困難であることが多い。大雑把な表現であるが、対象とする数理モデル(微分方程式)が安定な解を一意的にもつことが「適切(well-posed)」の意味であるので、この否定概念の非適切問題の解析が困難であることは容易に想像されよう。
このような非適性を緩和する手法として、数学においては種々の「正則化法」が提案されるている。これはパラメータを含む"正則化項"の導入によって非適切問題を適切な問題の系列で近似するもので、数値計算等においては正則化された問題を通常手法で離散化することとなる。Tikhonov正則化法はその最も汎用的かつ有名な方法である。本課題研究は、この正則化法を中心に、幅広い視点から逆問題・非適切問題の解析に取り組み、多くの成果を上げた。
特筆すべき成果は、浮動小数点数値計算の基礎であるIEEE754方式による倍精度計算環境そのものの見直しを行ない、非適切問題の数値計算を念頭においた高速多倍長数値計算環境を設計・実装したことである。これは本課題研究の研究協力者の成果に負うものであるが、これによってTikhonov正則化法の正則化パラーメタ選択に関する従来手法の問題点を指摘した。さらにこの計算環境を活かして非適切問題の高精度数値計算を行なうために、スペクトル法を基礎とするアルゴリズムを開発したことも大きな成果と言えよう。
さらに、Dirichlet-Neumann写像の局所化や積分方程式の適用も含め、逆問題・非適切問題の解の再構成手法を数学・数値解析の視点から深化させ成果を挙げている。さらに、今後は非均質な媒体における逆問題解析が重要になると考え、その解析の基礎となるフラクタル領域での熱や波の伝播の基礎理論、多倍長数値計算環境における事後誤差解析としての精度保証数値解析など、これらのあらたな解析手法の確立のための基礎研究にも光を当て、将来を示唆する先駆的な成果を挙げることができた。

スペクトル法 / 差分法 / 数値解析 / 自然対流 / スペクトル差分法 / 汎用 / 熱流体解析

当該研究で使用するスペクトル差分法は2次元問題/軸対称問題では一方向に完備なスペクトル展開し,直交方向に対する微分方程式を導出し,その微分方程式を数値解析する手法であり,空間精度が良好等の特長を有しており,汎用性を念頭においての適用性を確証することが急務とされている.
そこで数値解析をNavicr-Stokes方程式,エネルギ方程式等の性質を明らかにする一環として単位円に写像する一般的な座標変換関数を導入して具体的な幾何形状,熱流動場に適用した.数値求積はスーパーコンピュータによって行った.
その結果,汎用的な座標変換でのスペクトル差分法の汎用化を具体例で検証した.
なお本変換に対する境界適合座標系としてヤコビの楕円関数を利用できる可能性が高いことが判明した.
直角二等辺三角形キャビティ内の層流自然対流問題では等角座標変換にヤコビの楕円関数を使用することにより,少なくとも適度なパラメータの範囲では定常解を求積できることが判明した.
また層流自然対流で直角二等辺三角形キャビティ内のある種の非ニュートン流体に適用した場合,弾性パラメータが含まれているにもかかわらず,安定に数値解析が可能なことを示した.

スペクトル法 / 差分法 / 数値解析 / 自然対流 / スペクトル差分法 / 複雑形状 / 流熱解析

本研究で使用するスペクトル差分法は2次元問題/軸対称問題では一方向に完備なスペクトル展開(フーリエ展開,Dini展開,ルジャンドル展開等)し,直交方向に対する微分方程式を導出し,その微分方程式を数値解析する手法であり,このため,成分への分解時には誤差が入り込まないので,元の方程式の性質の評価としての数値解析には極めて適している上,空間精度が良好であり,数値求積速度が大きいという特徴がある.既に,簡単な関数で表現できる幾何形状に対する単連結領域,二重連結領域における一様流中の流れ,強制対流,自然対流,非ニュートン流について極めて有用であることを明確にしたので,汎用性を念頭において前記以外の複雑な形状下での適用性を確証することが急務とされている.そこで2次元単連結領域を対象として,境界を円に写像する汎関数を導入し,種々の具体的な幾何形状に対して,写像関数を定めて,定常自然対流場を求積した.その結果,半無限長方形キャビテイ,カッシーニキャビテイ,非円形断面キャビティ(いくつかのパラメータを含む特定の関数で創成)を対象として,種々のパラメータ(グラスホフ数,プラントル数,弾性数)に対して安定に解を求める方法を確立した.

粘弾性 / スペクトル法 / 非ニュートン流体 / 数値解析 / 高分子液流

高分子融液,溶液を初めとする非ニュートン流体の流れは成形加工のプロセスに代表的な例を見ることができ,それらの装置の省エネルギー化,高性能化の進展に伴い,媒体の流動状況における流熱特性を解明,予測することが急務となっている.特に高粘弾性流体の場合,ラグランジュ的に大きな加速度の生じる場所では応力場が空間的に急変するために,弾性効果が顕著となり,ニュートン流体の流れからでは類推できないような複雑な挙動を示す.そこで,流体の構成式として2nd orderモデルを使用して,楕円柱を過ぎる流れ,回転対称物体を過ぎる流れ,半楕円キャビティ内の自然対流を数値解析する.2次元の場合,変数として流関数と渦度を用いると基礎式として渦度輸送方程式と類似した式が得られる.他方,3次元の場合,類似した式が得られないので,粘性の拡散項と応力の拡散項の和の形で評価する.その上で,物体適合等角写像関数を用いて空間座標を変換する.数値解析は変換後の座標成分でのスペクトル差分解法によった.すなわち,基礎式をフーリエ級数に分解した上で,差分法により離散化近似し適当な初期値を与えた上,半陰解法で時間に関して数値積分した.その際空間精度を良好とするために,空間の広がり方向には実質的に二重指数変換的な格子を配置した.更に,定常解を安定良く得るために多くの場合には,負の値をとる新パラメータを導入した.現象は幾何学形状,レイノルズ数等の無次元数,弾性数(弾性力/慣性力)で支配され,ニュートン流体の場合に比べて,流体の弾性力により抗力が増加し,流線が顕著に変化することが判明した.

【研究分担者】
西村直志	京都大学	情報学研究科	教授	(Kakenデータベース)
藤原宏志	京都大学	情報学研究科	助手	(Kakenデータベース)
大西和榮	茨城大学	理学部	教授	(Kakenデータベース)
今井仁司	徳島大学	工学部	教授	(Kakenデータベース)
山本昌宏	東京大学	数理科学研究科	助教授	(Kakenデータベース)
若野功	京都大学	情報学研究科	講師	(Kakenデータベース)
東森信就	京都大学	情報学研究科	研究員	(Kakenデータベース)
西田孝明	早稲田大学	理工学術院	教授	(Kakenデータベース)

【研究分担者】
今井仁司	徳島大学	工学部	教授	(Kakenデータベース)
山本昌宏	東京大学	数理科学研究科	助教授	(Kakenデータベース)
西村直志	学術情報メディアセンター	教授	(Kakenデータベース)
登坂宣好	日本大学	生産工学部	教授	(Kakenデータベース)
大西和榮	茨城大学	理学部	教授	(Kakenデータベース)
田沼一実	群馬大学	工学部	助教授	(Kakenデータベース)