【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】17H02851 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

関数方程式論 / 調和解析学 / 変分法 / 流体 / 漸近解析

【研究成果の概要】

本研究課題では物理学, 工学に現れる非線形分散型方程式に対し, ソリトンおよび散乱という立場から研究を行っている. 研究代表者の瀬片は, gauge不変な非線形項をもつKlein-Gordon方程式の複素数値解の時刻無限大での詳細な挙動を, 解の漸近形がみたす常微分方程式を精密に解析することにより捉える事ができた. また, Jason Murphy氏, 研究分担者の眞崎氏とともに, 前年度に引き続き, 吸引的なデルタポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式のソリトンのまわりでの解の長時間挙動について研究を行った. これまでは小さなソリトンのまわりの解について考察してきたが, 今年度は, 線形の散乱理論を援用することで, 必ずしも小さいとは限らないソリトンのまわりの解の挙動について考察した. 研究分担者の前田は, Scipio Cuccagna氏とともに吸引的なデルタポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式に対し, virial型の議論をすることで質量劣臨界の場合に小さな解が時刻無限大でソリトンと分散波に分かれることを証明した. また, 非線形シュレディンガー方程式の臨界周波数付近でのソリトン解の振動を解析した. 研究分担者の高田は, 2次元非粘性成層 Boussinesq方程式の初期値問題を考察し, 最適な初期正則性のもとで長時間可解性を証明した. 研究分担者の生駒は, 質量が一定という制約条件の下，ハミルトニアンを最小化するにする関数の存在および非存在を考察した. 特に調和ポテンシャルのように強い効果を持たないポテンシャル関数と一般的な非線形項の取り扱いに成功した. また, 2つの冪乗型非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式に対する基底状態解の一意性および非退化性を示した. 特に1つの冪はSobolev臨界であり，周波数が非常に大きい状態を取り扱った.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2017-04-01 - 2021-03-31

【配分額】15,340千円 (直接経費: 11,800千円、間接経費: 3,540千円)

【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】26287021 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

爆発 / 放物型 / 走化性 / type II / 走化性方程式系 / 特異性 / 非線形 / 放物型方程式系 / 漸近挙動 / 流体 / 関数方程式論

【研究成果の概要】

本研究では、放物型―放物型走化性方程式系の解の爆発問題を領域が有界な場合と全空間の場合を総合的に研究した。本研究では、領域が全平面の場合には第二方程式における時間微分の係数の影響が顕著に表れることを示し、放物型―放物型走化性方程式系と単純化された放物型―楕円型方程式系では数学的に異なる構造をもつことを証明した。また、解が爆発するときの挙動についても研究し解明した。

【研究の社会的意義】

放物型―放物型走化性方程式系は生物学におけるバクテリアの集中現象を記述するモデルとして1970年にKellerとSegelによって提唱された。また、高次元で退化した拡散項をもつ場合は宇宙物理学への応用も知られている。集中現象は数学的には解の爆発と定義される。放物型―放物型走化性方程式系の解の爆発を数学的に扱うのが困難であったので放物型―楕円型に単純化された方程式系でしか研究されて来なかったが、本研究では本来の放物型―放物型方程式系の解の爆発を数学的に研究し成果をあげた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2014-04-01 - 2019-03-31

【配分額】15,080千円 (直接経費: 11,600千円、間接経費: 3,480千円)

【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】26220702 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形非局所的拡散 / 粘性解 / バリフォールド / 薄膜極限 / 非局所的拡散 / 4階全変動流方程式 / プリミティブ方程式 / ファセット / 非線形現象 / 分数冪拡散方程式 / 動的境界条件 / 平均曲率流 / ストークス作用素 / 有界平均振動関数 / 結晶成長 / 分数階時間微分 / クリスタラリン平均曲率流 / 渦巻成長 / 長時間挙動 / 特異拡散 / ストークス方程式 / 特異拡散方程式 / 渦 / 関数方程式論 / 流体 / 弱解 / レゾルベント評価 / 解析学 / 表面・界面物性

【研究成果の概要】

結晶成長のような形態や形状の変動現象を記述する非線形拡散型方程式を中心に、時間発展型偏微分方程式に対して、さまざまな数学的手法を融合し、解の存在・一意性問題を示し、解の挙動を解明しました。特に、特異構造を持つ方程式や、特異点を許す形状を許容するような新たな解概念を確立し、実際の現象を記述するのに便利な数学解析の基礎を構築しました。これらの基盤的成果により、例えば今まで計算することが難しかった結晶表面の衝突する渦巻の計算を可能にしました。

【研究の社会的意義】

偏微分方程式は、諸現象記述に便利ですが、現象に忠実であろうとすると、入力を倍にしても出力が倍にならない非線形であることが多くなります。本研究で扱う問題は主に時間発展型の方程式で、非平衡現象に対応しております。さらに、非局所的効果を持つものです。このような問題は従来の解析では扱えませんでした。本研究の成果は、分数階微分方程式、クリスタライン平均曲率流方程式、ナヴィエ・ストークス方程式を中心に、粘性解の理論や実解析の理論を発展させ、非線形解析学を発展させました。
また、結晶表面の成長メカニズムの一つである渦巻成長について、その新しい数値計算法を与え、結晶成長学の基礎の見直しにつながりました。

【研究種目】基盤研究(S)

【研究期間】2014-05-30 - 2019-03-31

【配分額】155,740千円 (直接経費: 119,800千円、間接経費: 35,940千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】24340030 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

水の波 / 水面波 / 浅水波 / 浅水波近似 / 長波長近似 / 流体 / 関数方程式 / 変分構造 / Euler-Lagrange方程式 / 国際研究者交流 / フランス / 浅水波方程式 / Green-Naghdi方程式 / Boussinesq方程式 / 国際情報交換 / 中国 / 関数方程式論

【研究成果の概要】

水底に凹凸がある場合の浅水波近似と長波長近似，特に，水底の凹凸の水平方向の空間スケールεが水面のそれよりも非常に小さく，かつ周期的に変化している場合を考察した．浅水波方程式の解の均質化極限（ε→０）を多重尺度法により解析し，その挙動を具体的に表示した．また，Boussinesq型方程式の解の均質化極限と長波長近似を同時に行う極限を解析した．さらに，水の波の変分構造を利用して得られる近似モデルの構造を明らかにした．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2012-04-01 - 2015-03-31

【配分額】5,460千円 (直接経費: 4,200千円、間接経費: 1,260千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】21540226 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

水面波 / 水の波 / 浅水波 / 津波 / 流体 / 関数方程式論 / 国際研究者交流 / オーストリア:中国 / アメリカ / アメリカ:中国

【研究成果の概要】

津波の伝播をシミュレートする際には,通常,水面の初期変位が海底地震による水底の永久変位に等しく,初期速度はいたるところ零であるという初期条件の下で,浅水波方程式が数値的に解かれている.本研究では,水の波の基礎方程式系から出発し,適当な仮定の下,この津波モデルの数学的に厳密な正当性を証明した.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2009 - 2011

【配分額】4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)