【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】25400180 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

変分問題 / 最適化問題 / 固有値問題 / 非線形楕円型偏微分方程式 / パターン形成 / 非線形楕円型方程式 / ボーズ・アインシュタイン凝縮 / パターン形成問題 / 数理生態学 / 数学解析 / 固有値漸近挙動

【研究成果の概要】

量子物理現象や数理生態学におけるパターン形成の数理モデル等に現れる非線形変分問題および非線形楕円型偏微分方程式の解の構造を中心に研究推進を行った。
特に、細い領域上での混合境界条件下でのラプラシアンの固有値の精密な漸近挙動の研究およびBose-Einstein凝縮現象に付随する非線形変分問題の最小エネルギーに関する粒子数無限大での漸近挙動の研究を行った。
また、3種のFitzHugh-Nagumo型数理モデルに付随する変分問題のエネルギー最小解の解析、交差拡散効果をもつPrey-Predator数理モデル等に現れる非線形反応・拡散系に対して、非定数定常解の存在・非存在パラメータ領域の解析を行った。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2013-04-01 - 2016-03-31

【配分額】4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】14340054 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形シュレディンガー方程式 / 熱方程式 / 爆発現象 / パターン形成 / 最大点挙動 / 分岐解析 / 力学系 / ゲージ理論 / 爆発解 / 漸近挙動 / くりこみ群 / 確率過程 / 半線形熱方程式 / 固有値問題 / 非線型シュレディンガー方程式 / 半線形放物型方程式 / 国際情報交換 / カナダ:イスラエル

【研究成果の概要】

名和と石毛が運営メンバーに名を連ねる『語ろう「数理解析」』(http://www.gifu-u.ac.jp/~tisiwata/seminar/ma_seminar.html)を通して,様々な分野の研究者との議論の場を設ける事ができた。この活動などを通して、研究分担者各員は、各々の研究分野で成果をあげ、様々な研究集会など、複数の講演機会や海外への渡航機会も得て、情報交換がより密になされるようになった。
名和は、擬共型不変な非線形シュレディンガー方程式の爆発解に対して、その爆発速度と漸近挙動との間の関係性について、ひとつの結果を得る事ができた。これにより、次のステップとして、本格的にネルソン過程と呼ばれる解の背後にある確率過程と爆発速度との関係の追求に移る事ができる。また、微分型非線形シュレディンガー方程式の爆発解に対しても、漸近形に対しては、部分的に同様の結果を得た。さらに、これまでに開発した技術が、超伝導の理論に現れるような、非線形シュレディンガー方程式系の解析にも有効である事を見抜き、古典場ではあるが、クーパー対の生成とも言うべき性質を解が持ち得る事を示した。
石毛は、拡散係数が大きな半線形熱方程式の爆発解の爆発集合や漸近形に関する結果や、球の外部領域における線形熱方程式の解の最大点挙動および解の微分の無限遠方での減衰評価を得た。鈴木は、自己双対ゲージ模型におけるある種の自己組織化現象や,走化性方程式系の爆発問題に関して興味深い結果を得た。小川は、自発的パターン形成のモデルである、スイフト=ホッヘンバーグ方程式や,ある電気化学系のモデル方程式などの解に現れる時空パターンについて,力学系や分岐理論を用いた解析を行った。これらの解析の一部は、すでにシュレディンガー方程式の解の解析と精神を同じくしている部分もあり、今後のさらなる共振的な発展が期待される。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2002 - 2005

【配分額】11,400千円 (直接経費: 11,400千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】12440023 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

反応拡散系 / 興奮-抑制系 / 歪勾配系 / 分岐 / パターン形成 / 固有値問題 / 定常解 / 安定性 / 興奮一抑制 / 自己相似解 / 解の爆発 / 興奮ー抑制系

【研究成果の概要】

反応拡散系に見られる様々な時空間ダイナミクスは,いろいろな自然現象に見られる自発的パターン形成のモデルとなっている.本研究では,解析学的手法と数値的手法を組み合わせて,以下の問題について研究を進めた.
1.shadow systemと呼ばれる縮約系に対して,無限次元力学系の手法を適用して,安定解の空間的単調性を示した.また歪勾配構造をもつ反応拡散系に対し,安定定常解の変分法的特徴付けを得た.
2.ギーラーとマインハルトによって提唱された活性因子・抑制因子型の反応拡散系について,定常解の安定性を調べた.二つの同心球面に囲まれた領域において,抑制因子の拡散係数が無限大になった極限系の定常解のうち,境界上の一点でのみ極大となるものはいずれも適当な条件のもとで安定であることを証明した.
3.反応拡散方程式の定常解は非線形楕円型方程式の解として与えられる.楕円型方程式の正値解の存在は,定常解の構造を理解するに当たってもっとも基本的な問題である.ここでは臨界べきを持つ非線形楕円型方程式の解の存在と分岐について明らかにした.
4.反応拡散系に見られる複雑な時空間パターンのダイナミクスは,パルス状局在解が弱いあるいは強い相互作用をすることによって生じると解釈できるが,そのダイナミクスを漸近的手法を用いて解析する.
5.生物の形態形成における活性化因子--抑制因子モデル方程式、熱対流におけるSwift-Hohenberg方程式などは勾配・歪勾配系の枠組みでとらえ,縞状のパターンには、Eckhaus不安定性とZigzag不安定性の2種類の不安定性が普遍的に観察されることが示された.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2000 - 2002

【配分額】10,100千円 (直接経費: 10,100千円)