【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】15H05740 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

逆問題 / 安定性・一意性 / 係数決定 / 境界値逆問題 / リーマン計量決定 / 複雑流体 / 非整数階偏微分方程式 / 産業数学 / 係数決定逆問題 / 流体力学の基礎方程式 / 楕円型方程式 / 双曲型方程式 / 安定性 / 一意性 / 数学解析 / 複雑流体の逆問題 / 非ニュートン流体 / 一意性・安定性 / リーマン計量決定逆問題 / 粘弾性体の係数決定逆問題 / 関数方程式論 / 非整数階微分方程式

【研究成果の概要】

偏微分方程式の係数を解の限定されたデータで決定する係数決定逆問題の数学解析と応用を研究対象とした。主な課題は以下であった：（Ａ） 楕円型方程式の係数決定逆問題. (Ｂ）リーマン多様体におけるリーマン計量決定逆問題.（Ｃ） 流体力学におけるさまざまな非定常方程式の係数決定逆問題.（Ｄ） 非整数階偏微分方程式の係数決定逆問題.（Ｅ） 諸科学技術分野からの課題提起：包括的な数学解析手法の開発を現場との課題と関連づけて遂行した。

【研究の社会的意義】

学術的意義：さまざまな現象と直結した逆問題の数学解析を一気に推進して、国際規準となる成果群を確立し、今後の多様な研究の進展の基礎を構築した。数学分野において逆問題という研究領域を拡大し若手の研究者人口を増大させた。社会的意義：環境予測、感染拡大の予測など喫緊の課題の解決において現象を支配するパラメータの決定とそれに基づくシミュレーションという逆問題を組み込んだ方法論の重要性への社会的認知度を、数学解析の成果を通じて広め、さらに産業界からの逆問題的手法の注目度を高めた。その結果、産業界において数学的手法の現場での活用への要求が増大した。

【研究種目】基盤研究(S)

【研究期間】2015-05-29 - 2020-03-31

【配分額】182,000千円 (直接経費: 140,000千円、間接経費: 42,000千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】15654015 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

マクスェル方程式 / ラメの方程式 / 係数決定 / 一意性 / 安定性 / デイリクレ ノイマン写像 / カーレマン評価 / マックスウェル方程式 / 逆問題

【研究成果の概要】

ラメ方程式およびマクスウェル方程式を主に等方性のある媒質で考察し、弾性係数などの物理的な性質が空間変数に依存するとする。このとき、境界近くの観測によってそれらの係数を決定するという逆問題の数学解析を行った。この逆問題の物理的な重要性は、たとえば弾性体の逆問題の場合を考えると明らかである;境界での応力に対応する法線微分によって媒質内部の密度分布を決定するという問題になり、地球の内部構造の決定、物理探鉱学および非破壊検査などにおける基本的な問題となる。この種の問題に対しては実用・応用上の必要からおびただしい数値計算結果がある。数学解析からの結果として要求されることは一意性・安定性などの適切性であり、これが未知係数の構成の近似解法のために必要不可欠であるだけではなく、数学の立場から応用分野の研究者に明らかにしなくてはならない知見である。しかしながら世界的にみても数学解析からの決定的な結果は知られていなかったが、数学解析的な成果が本研究計画の枠組みで明らかにされた。
研究分担者は主にデイリクレ・ノイマン写像を用いる定式化に関して研究成果を挙げた。この定式化では境界値の観測の反復(一般には無限回)を要求されているが数学的に満足すべき一意性が証明された。
研究代表者はCarleman評価とよばれる手法に基づいて有限回の観測データによって本逆問題に関して妥当な条件のもとで領域全体にわたって一次のオーダ(Lipschitz連続性)の安定性を確立した。その結果としてHadamardの意味での適切性を示した。これらの解析的成果は有効な数値解析手法の開発のために有効である。

【研究種目】萌芽研究

【研究期間】2003 - 2004

【配分額】3,600千円 (直接経費: 3,600千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】11440025 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

安定性 / 逆問題 / インピーダンス・トモグラフィー / 自由境界問題 / 有限要素法 / 多倍数計算 / カールマン・フィルター / 多倍長計算 / 幾何形状決定 / 係数決定 / インピーダンス・トモグラフィ

【研究成果の概要】

本研究は、応用数理学に現れる逆問題についてその数学解析とその成果に基づいた数値解析手法を提案することが主要目的であった。それとともに広く応用分野に登場する関連問題についても逆問題の観点から数値的な研究を実施し、本研究課題に適用できる可能性のある数値計算法の基盤を準備することも目指した。
逆問題の数学解析の点では本研究課題を通じて、大きな成果を納めることができたと考えている。さらに数学解析の成果を踏まえた数値解析手法の開発では、いくつかの注目すべき方法か提案され数値実験で有効性が確かめられたが、実データとの照合などまだ課題が残されており、研究の継続か大いに必要である。最後に、逆問題関連の数値解析の研究では、各分担者の専門的知見を活かして特色のある成果をあげることができた。さらには、外国人研究者によるサーベイや国際会誌での活発な成果もおこなった。
以下、研究成果についてやや具体的に述べる。まず、本研究課題を通じて得られた知見を盛り込んで、逆問題解析の数学と数値解析手法に関するやや入門的な解説書として研究代表者は分担者の登坂宣好氏、大西和榮氏とともに『逆問題の数理と解法』東京大学出版会,1999年)を出版した。その他、大西氏、登坂氏、磯祐介氏、河原田秀夫氏、三好哲彦氏、木村正人氏、牛島照夫氏、加古孝氏は逆問題やそれと深く関連した応用数理学に現れる問題に対して数値解析手法を発展させた。さらに、逆問題の理論的な研究は、中村玄氏、斎藤三郎氏、池畠優氏、田沼一実氏、久保雅義氏によって実施された。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1999 - 2001

【配分額】11,800千円 (直接経費: 11,800千円)