【研究領域課題番号】22K03419 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理ファイナンス / 確率論

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2022-04-01 - 2025-03-31

【配分額】3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)

【研究領域課題番号】18K03422 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理ファイナンス / 確率論 / 数値計算

【研究成果の概要】

本研究は、数理ファイナンスにおける金融派生証券に対する最適ヘッジ戦略に関するものである。とりわけ、代表的なジャンプ型確率ボラティリティーモデルであるBarndorff-Nielsen and Shephardモデル(BNSモデル)に対し、最適ヘッジ戦略の明示的表現を導出し、さらに高速フーリエ変換をベースとした数値計算法の開発を行うことを目指す。当初はLevy過程に対するMalliavin解析を用いた研究を予定していたが、この方法だけでは限界を感じたため古典的な伊藤解析も加えて研究に取り組むことにした。
BNSモデルのような確率ボラティリティーモデルに対しては、高速フーリエ変換などを用いて数値的にオプション価格を計算することはできても、明示的なオプション価格公式を導くことはできない。そのため、オプション価格に対する各パラメータの影響などオプション価格の構造的性質を調べることができない。そこで、AlosらによるHestonモデルに対するオプション価格の分解公式に注目し、それをBNSモデルへ拡張することに取り組んできた。
令和元年度(2019年度)にはBNSモデルに対するAlos型分解公式と近似手法の開発を行った。さらに令和2年度(2020年度)には、オプション価格の近似公式を完成させた。そして令和3年度(2021年度)には、ここまで得られた分解公式及び近似公式を基に、インプライドボラティリティーの近似計算やボラティリティースマイルの解析を試みた。この結果、伊藤解析だけではなく、Levy過程に対するMalliavin解析を追加して用いることが有効であることが分かった。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2018-04-01 - 2023-03-31

【配分額】3,250千円 (直接経費: 2,500千円、間接経費: 750千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】15K04936 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理ファイナンス / 確率論 / 数値計算

【研究成果の概要】

ジャンプ型確率過程によって記述される非完備市場を考え、2つの最適ヘッジ戦略local risk-minimizing(LRM)とmean-variance hedging(MVH)に対し、Malliavin解析を用いてそれらの表現及び数値計算法の開発を目指した。とりわけ、(1)BNSモデルに対するLRMの導出と数値計算、(2)指数型加法過程モデルに対するMVHの表現の導出と数値計算、(3)normal inverse Gaussian過程モデルに対するLRMとMVHの数値計算、及び(4)BNSモデルに対するVIXオプションのLRMの表現と数値計算に関する研究を行った。

【研究の社会的意義】

非完備市場における最適ヘッジ戦略の理論研究はこれまで一定の成果を上げてきたが、これまでに得られた成果は最適ヘッジの存在や抽象的な表現の導出に留まっており、金融実務に適用されることはなかった。そこで、金融実務への貢献を念頭に、単に計算可能なモデルを選択するのではなく、実際の金融実務で使用されているモデルを選択し、具体的な設定に対して具体的な答えを与えることを目標とした。実際、数値計算法の開発では、金融実務においてそのまま利用できるような形で提示することができた。ファイナンスにおける数学的理論研究の成果を金融実務に還元することができたものと確信している。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2015-04-01 - 2019-03-31

【配分額】2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】22540115 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率微分方程式 / 弱近似 / シミュレーション / 数理ファイナンス / 金融派生商品 / 高頻度取引 / 数値計算 / 確率論 / 準モンテカルロ / 数理工学 / アルゴリズム

【研究成果の概要】

確率微分方程式(以下SDE)の高次弱近似を実現するアルゴリズムと理論に関するものである. 以下の5点の成果を得た. [1]バリア型の金融派生商品への楠岡近似アルゴリズムの拡張. [2]我々の楠岡近似のアルゴリズムの計算機プログラムライブラリの完成. [3]SDEの7次の弱近似(通常の意味では3次)を実現する新しい近似アルゴリズムの発見. [4]ファイナンスに於いて重要であるHeston Modelに我々のアルゴリズムの一つ(所謂NNアルゴリズム)を適用する際に更に高速化を可能とするような変数変換手法の発見. [5]高頻度取引の分野で情報に時差がある場合にそれを検出する指標を新たに発見.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2010-04-01 - 2014-03-31

【配分額】3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】19540144 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 関数解析学 / 応用数学 / ファイナンス論 / 数理ファイナンス / 価格付け理論 / 非完備市場 / リスク測度 / 効用関数 / 同値martingale測度 / Orlicz space / semimartingale

【研究成果の概要】

Good deal boundsの研究に現れるショートフォールリスク測度に関する研究の総仕上げを行った.ショートフォールリスク測度とは,条件付請求権の売り手がうまく戦略を組んでショートフォールリスクをある閾値以下にできる最低価格を表す凸リスク測度である.このショートフォールリスク測度により,条件付請求権の価格の候補を求めることができる.
平成21年度の前半では,20年度までに得られた結果を,原資産価格過程が非局所有界である場合に拡張すると共に,admissible戦略が凸錘や凸に制約された場合についても論じることに成功した.さらに後半では,inf-convolutionに関する研究を行い,これをショートフォールリスク測度の表現の導出へ応用した.その結果,これまでに得られていたショートフォールリスク測度の表現は,Orlicz空間のうちOrlicz heartと呼ばれるものを対象としてきたが,これを完全に一般のOrlicz空間に拡張することに成功した.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2007 - 2009

【配分額】2,730千円 (直接経費: 2,100千円、間接経費: 630千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】18540113 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 数理工学 / アルゴリズム / 数理ファイナンス / デリバティブ / 確率微分方程式 / 確率諭

【研究成果の概要】

(1)楠岡近似の原理に従って確率微分方程式で記述される拡散過程の高次弱近似を可能とする、頑健で汎用的な数値計算アルゴリズムを発見・構成した。(2)数理ファイナンスへの応用によりその有用性:(a)計算の劇的な高速化(b)頑健な離散化の実現(c)汎用性、を検証した。(3)そのアルゴリズムが広く社会に受け入れられるように計算機プログラムを開発した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2006 - 2009

【配分額】3,630千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 630千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】18340029 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 数理ファイナンス / モンテカルロ法 / 数値解析 / Malliavin解析 / インサイダー取引モデル / market timer現象 / シミュレーション / 制御論 / 確率微分方程式 / 取引費用

【研究成果の概要】

インサイダー取引モデルでは株の値段がジャンプすることを認めるとインサイダーが将来の情報があってもリスクが残ることによって市場の均衡が起こる可能性がある。また、Backモデルの拡張について結果が得られた。確率微分方程式タイプのモデルにも提案した。
確率微分方程式の数値解析では径路方法を構成し、いろんな場合に使えることを期待している。また、密度関数のシミュレーションに対して、分散減少法を作って、その解析ができた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】10,320千円 (直接経費: 8,700千円、間接経費: 1,620千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】17204009 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 確率解析 / 確率過程 / 極限定理 / エルゴード理論 / モンテカルロ法 / 確率過程論 / 数理ファイナンス / マリアヴァン解析 / ランダム分割

【研究成果の概要】

本研究は確率論が本来持つ横断性を有機的に活用・発展させるために,様々な研究テーマの下で第一線で活躍する確率論研究者たちを分担者として,彼等の研究の総和をもって我が国の確率論研究に貢献することを目的としている.
当該研究期間内に4つの国際シンポジウムの主催・共催(確率論と数論,大規模相互作用系の析,数理ファイナンスに関するもの2つ),26の国内研究集会の主催・共催(うち毎年開催したのは,確率論サマースクール,ランダム作用素,エルゴード理論,確率論シンポジウム)に携わり,延べ285人の旅費(うち外国旅費13件)を負担した.
研究成果は多岐に渡る.例として代表者の研究成果を3つ述べる.(1)モンテカルロ法を確率的ゲーム(賭け)として定式化しコルモゴロフの乱数理論を用いることによって,モンテカルロ法におけるサンプリングの本質的な問題を明らかにした.さらにその解決のためには暗号理論における疑似乱数生成器の安全性の考えが有効であることが分かった.とくにモンテカルロ積分の場合には「ペアごとに独立なサンプリング法」が安全な疑似乱数生成器を実現していることを指摘した.(2)任意の有限体を係数に持つ2つのmonic多項式が互いに素である確率をアデール完備化を通して,拡張されたエルゴード定理を用いて計算した.(3)自然数列の代わりに独立確率変数の和の列を考えることにより,di-gamma関数のランダム化を考え,それに関する中心極限定理について研究した.これは半直線上のランダムな電荷分布の作るポテンシャルの揺らぎに関する結果と見ることができる.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2005 - 2007

【配分額】47,710千円 (直接経費: 36,700千円、間接経費: 11,010千円)