【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】10304009 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

解析性 / 逆問題 / 再生核 / 積分変換 / 微分方程式 / 数値解析 / リーセン面 / クライン群 / リーマン面 / フライン群 / 解析関数 / 等角写像 / ポテンシャル / 値分布理論 / 偏微分方程式

【研究成果の概要】

(1) 複素数値をとる「任意の関数を係数とする線形微分方程式」の解の存在を論じる方法,存在するときは,解を構成する方法を発見した.しかし,この新しい方法についてはまだ,成果が具体的ではなくさらなる検討が必要である.しかしながら,発想が新規で自然,面白いので,今後検討を続けていきたい.
(2) 時間に依存する多くの線形偏微分方程式の解において,時間と空間の局所的な情報から,初期値や初速度を求める方法を発見した.従って,解の全体の情報はそれらの局所的な情報で求められることになる.楕円型方程式の解についても同様な公式を確立した.これは研究課題に直接関係する「関数の解析性」と「逆問題」,および「偏微分方程式の解」を結び付ける具体的な成果である.この楽しい原理を「聴診器の原理」と名付けた.
(3) 抽象的なHilbert空間達に,線形変換を通して,和,積,微分,積分等の演算を導入する概念を得,特に「convolution」の一般的な概念を得て,「Youngの不等式」より簡潔な不等式を確立した.
(4) 等角写像,関数論の面では,解析関数の表現について,局所的な情報で解析的な任意の点での値を求める自然な公式を,Riemannの写像関数を用いて,森正武教授とともに確立した.さらに,天野一男氏達と,これらの表現における「収束の速さを評価する」新しい原理を得た.
(5) Laplace変換のreal inversion formulasの研究を続け,共同研究者達と「一様収束する公式を得るために,Sobolev spacesのLaplace変換のreal inversion formulasの公式」を,「real inversion formulasにおける誤差評価の公式」を,さらに「conditional stability」が成り立つ関数空間の特定」を確立した.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1998 - 2000

【配分額】31,900千円 (直接経費: 31,900千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】09640209 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

微分方程式 / 解の特異点 / 調和写像 / ゲージ理論 / 非線形問題 / 収束定理 / 非線形微分方程式 / 偏微分方程式 / 大域解析学

【研究成果の概要】

第一の結果はRiemann多様体の間の調和写像についてのものである。はじめに、定義域が3次元以上のRiemann多様体からの調和写像全体のなす空間について研究を行ない、定義域の次元をnとするとき、一階微分のL^nノルムが一様に有界であるような調和写像の集合は写像のC^∞位相に関してコンパクトであることを示した。この結果は定義域が境界をもつ場合も含んでおり、境界で連続になる調和写像だけではなく、境界の近傍で特異な挙動をとるような調和写像についても成り立つ結果である。この結果は論文として学術雑誌Differential and Integral Equationに発表した。次に、定義域の内部に特異点をもつ調和写像全体の空間の構造について研究を行ない。特異な調和写像についても、上と同様のコンパクト性定理を証明した。このことから、特異点をもつ調和写像の列が一様有界なL^nノルムをもつならば、その極限写像の特異点集合は元のものより大きくはならないという結果が得られた。この結果については、現在、補助金より備品として購入したパーソナルコンピューターで数式処理ソフト、グラフィックソフトを用いて、いくつかの例について特異点の付近の写像の挙動について、計算を行なっており、その論文は現在準備中である。第二の結果はゲージ理論に現れるの方程式についてである。まず、平成九年度分の補助金を用いて、静岡大学の芥川和男助教授を招聘してゲージ理論についての専門的知識の提供を受けた。これらを基にして、5次元以上の多様体を底空間とするバンドル上のYang-Mills接続全体のつくるモジュライ空間に対してのコンパクト性定理を得た。この結果の論文は投稿中であり、現在ではYang-Mills接続の特異解についてこの結果の拡張の研究を続行中である。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1997 - 1998

【配分額】1,900千円 (直接経費: 1,900千円)

【研究分野】代数学・幾何学

【研究領域課題番号】62460001 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

多様体 / 葉層構造 / 特異点 / Cー環 / 詳作用 / 週期軌道 / 微分方程式 / 指数 / ポアソン構造 / C^☆-環 / 群作用 / 夛様体 / C^〓ー環 / Gー構造 / 周期軌道 / 偏微分方程式

【研究成果の概要】

本研究は多様体の大域的性質を幾何学および解析学の立場から、各分担者が相互に協力して解明することであった。したがってその内容は比較的多岐にわたり、三つの項目に分けて研究を行って来た。昭和62ー63年度を通して得られた主要な成果は次の通りである。
1.葉層構造と特異点の研究:
(1).正則葉層構造に対し、葉層特異コホモロジー理論を展開した。これは特性類によるホメノミー亜群の性質の解明の基礎になる。
(2).特異点をもつ葉層構造に対して、ホロノミー写像の導入とホロノミー亜群の構成を行った。局所単純とは限らない葉層構造に適用できることがこの構成の特色であり、特異点をもつ葉層のCー環の構成、その指数理論の発展への寄与が見込まれる。
(3).1階常および偏微分方程式の特異解の概念を、Wジャンドル特異点によって定式化し、その開析理論を展開した。
2.力学系と群作用の研究:
(1).組織群の方法により、一部のヘノン写像の周期軌道を分類することが出来た。
(2).局所的に、単連結な等質空間の構造をもつ多様体が商多様体となるための十分条件を見出した。
3.偏微分方程式の解法の研究:
(1).関数のヘッシアンとなるラドン測度の対称行列の特異点における修正可能性をしらべ、ハミルトン・ヤマビ方程式の解の特異点集合の修正可能性を示すことが出来た。
(2).無限次元ボソンーフェルミオン・フォック空間におけるケーラー・ディラック作用等の指数の伝路積分表示を得た。

【研究種目】一般研究(B)

【研究期間】1987 - 1988

【配分額】5,400千円 (直接経費: 5,400千円)