【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】11304006 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Schrodinger方程式 / 線形偏微分方程式 / 非線形偏微分方程式 / 非線形発展方程式 / 散乱理論 / 粘性解 / Navier Stokes equation / Klein-Gordon方程式 / シュレーディンガー方程式 / シュレーディンガー作用素 / 超漸近解析 / 波動方程式 / 漸近安定性 / 偏微分方程式 / 初期値問題 / ランダムな磁場 / ショック解 / 超局所解析 / 代数解析 / スペクトル理論 / 非線型波動方程式 / ナビエ・ストークス方程式 / 超幾何関数

【研究成果の概要】

線形あるいは非線形の常微分・偏微分方程式の基本的な未解決問題について総合的な研究を行い次の研究成果を得た.
1.研究代表者および分担者中村周はSchrodinger方程式を研究し,(1)散乱の波動作用素のL^p有界性,(2)基本解の滑らかさや有界性の摂動に関する安定性・不安定性を証明し;(3)時間周期系の解の漸近減衰とFloquet作用素のスペクトルの関係を明らかにした.(4)相空間でのトンネル効果の一般論を構成しその応用を与えた;(5)ランダム系の状態密度を定義しWegner評価,状態密度のLifshitz特異性を証明した.
2.分担者片岡清臣は線形偏微分方程式の一般論を研究し,(1)ε^R_χ加群の正則関数解複体の初等的定義を与えた.(2)確定特異点型境界値問題の解の特異性の分岐問題を常微分方程式の接続問題に帰着させた.(3)一変数正則関数のメリン型積分表示を得た.
3.分担者儀我美一は非線形偏微分方程式を研究し,(1)一階偏微分方程式の粘性解を数値的に計算する道をひらき,(2)適正粘性解の概念を導入して解の存在と一意性を示した.(3)Navier-Stokes方程式の空間無限大で減衰しない初期値をもつ局所解,2次元大域古典解を構成した.
4.分担者堤誉志雄は非線形発展方程式の解の適切性を研究し,(1)異伝播速度の波動方程式の非線形連立系の初期値問題を広い関数空間で示した;を得た.(2)非線形シュレディンガー方程式に対する既知の双線形評価式の最良性を示した.(3)質量項を持つKlein-Gordon方程式の定数解の漸近安定性を示した.
5.分担者真島秀行は函数の漸近展開に関する基礎的定理を超漸近解析の立場から研究した.
6.分担者井川満は波動方程式の複数凸物体による散乱行列の極の分布の精密な結果を得た。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1999 - 2001

【配分額】27,400千円 (直接経費: 25,000千円、間接経費: 2,400千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】09640155 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

代数解析 / 擬微分方程式 / 畳込み方程式 / 無限階微分方程式 / 偏微分方程式 / 微分差合方程式 / 超局所解析 / 解析接続 / 合成積方程式 / 微分・差分方程式 / 非特性コ-シ-問題 / 層の超局所理論

【研究成果の概要】

本科学研究費による研究では、交付申請書に書いた2つのテーマ:[1]正則函数に対する擬微分方程式系の非特性コーシー問題の、導来圏における定式化と解、[2]複素領域における無限階(擬)微分方程式系に対する「基本原理」、のうち[1]について、柏原-Schapiraによる擬微分作用素の正則函数への作用を用い、超局所方向pにおけるCauchy-Kowalevskayaの定理を圏D^b(X;p)における準同型として定式化し、それが同型射であることを証明することができた。これについては、本科学研究費により当該分野の国際的権威であるパリ第6大学のP.Schapira教授を報告者の大学に招聘し、研究討論を行うとともに、代表者および分担者の研究方向に対する多くの示唆を得たことの寄与するところが大きい。さらに、[2]については、複素領域における畳込み方程式の正則函数解の接続についての研究を行い、作用素の特性集合を微分方程式の場合の自然な拡張となるように定義し、それで決まる方向への解の接続性を証明した。また無限階の微分を許す微分・差分方程式への応用を行い、方程式の特性集合を具体的に与えた。更に、任意に与えた方向の集合を特性集合に持つような、畳込み方程式の具体例を構成した。
本研究では更に、非自励的関数偏微分方程式の安定性理論・概周期解の存在、第2超局所双曲型擬微分作用素に関する研究、大きなパラメータを含む3階線型常微分方程式のストークス幾何の決定に関する研究、たGrothendieck residueの値や双対性を計算するアルゴリズムの研究等に、様々な成果を得ることができた。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1997 - 1998

【配分額】2,600千円 (直接経費: 2,600千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】08640175 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形 / 偏微分方程式 / 特異性 / 超局所解析 / シュレデインガー方程式 / 超関数 / 波動方程式 / ポテンシャル

【研究成果の概要】

1.片岡は非線形の演算を許す超関数のクラスとしてフランスのColombeauによるいわゆる一般関数の理論を超局所解析の立場から研究し,富川との共同研究の中で,従来の弱い同値関係のままでは(佐藤超関数の枠内でさえ解を持たないことがわかっている)Levy-溝畑型の方程式を含むほとんどの方程式がColombeau関数内に自明な弱い解をもつことになってしまうが,片岡があらたに導入した弱い同値関係の下ではLevy-溝畑型の方程式は弱い解を持たない事が,周期性などの付帯条件なしにF.B.I.変換を利用して証明することができた.このことは片岡の弱い同値関係が従来のものの本質的な改善になっていることを一層強く示している.
2.堤は非線形波動方程式に関して研究し,非線形シュレデインガー方程式の場合において、解の正則性と非線形性の関係を調べ,シュレデインガー方程式においては,ゲージ不変性が大きな役割を果していることを解明した。そして、ゲージ不変性に関連したある種の対称性を持つ場合には,解の正則性が良くなることを証明した。ここでローレンツ不変性に関連したある種の対称性を持つ非線形性の場合には、解の正則性について特別な結果が成立することが、KlainermanとMachedonの研究により知られていた.
3.谷島は時間によって変化する係数をもつSchrodinger方程式を研究し,基本解の正則性および非正則性に関する結果を得た.
4.長田はDirichlet形式論を使って相互作用をもつ無限次元Weiner過程を構成した.この方法の利点はhard coreポテンシャルやLennard-Jones 6-12ポテンシャルなどの特異ポテンシャルの場合に応用できることである.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1996

【配分額】2,100千円 (直接経費: 2,100千円)