【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】17K05325 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理物理 / 偏微分方程式論 / シュレーディンガー方程式 / 散乱理論 / スペクトル理論 / 差分作用素 / 閾値レゾナンス / 偏微分方程式 / 多体問題 / 関数解析学 / 関数方程式論 / 解析学 / 幾何学

【研究成果の概要】

当該年度には主に以下の2つの研究を行った．
1. 離散Schrodinger作用素に対する基本解の構成
一般次元超立方格子上の離散Laplace作用素に対し，組み合わせ論的な方法を用いて，すべての基本解を構成することに成功した．基本解は一般に一意ではなく，そのうちで無限遠方において適切な漸近挙動を持つもの（格子Green関数）が物理的な意味を持つ．低次元空間の場合，さらに付加的な情報を用いることで，基本解の集合から格子Green関数を抜き出すことができ，それは一般に知られているものと一致することが確かめられた．一方で，高次元では対応する付加的な情報を利用することができないため，格子Green関数を抜き出すことにはまだ成功していない．それゆえ，この結果はまだ発展途上と言え，次年度以降にも引き続き研究を進めていく予定である．
2. 複素パラメータに対する指数重み付き極限吸収原理
Euclid空間上のSchrodinger作用素に対し，そのレゾルベントの複素スペクトルパラメータにおける極限吸収原理を示すことができた．レゾルベントを考える関数空間としては指数重み付きAgmon-Hormander空間を用いており，これは最良の空間であると考えられる．証明には，これまでの研究でもたびたび利用してきた交換子の方法を用いるが，非自明な使い方をする箇所があり，一定の新規性があると考えられる．対応するRellichの定理の証明は困難であり，今のところ未完成である．また具体的な応用も今のところ見つかっていない．そのため，この研究もまだ発展途上と言える．次年度以降にも引き続き研究を進めていく予定である．

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2017-04-01 - 2023-03-31

【配分額】4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)

【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】16H03946 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

函数方程式 / 非線形解析 / 不可逆過程 / 発展方程式 / 函数解析 / 偏微分方程式 / 変分法 / 無限次元力学系 / 解析学 / 関数方程式

【研究成果の概要】

拡散現象に代表される不可逆現象は，時間の一方向性や老化現象，物体の破損など我々の生活と密接に関わる重要な現象の要因である．そのような不可逆現象の古典論は前世紀に確立したが，その後古典論の範疇から逸脱する重要な現象か数多く発見され，それらに対応すべく数理解析の研究が行われている．本研究課題では，様々な不可逆現象の記述に現れる新しい数理モデルに対応できる発展方程式論の新たな枠組みを構築した．特に破壊・損傷現象等に現れる強い不可逆性を伴うフェーズフィールド方程式，及び異常拡散等の記述に現れる分数冪ラプラス作用素を伴う非局所発展方程式に関しては基盤となる解析法が確立し，それぞれ系統的な研究を行った．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2016-04-01 - 2020-03-31

【配分額】13,520千円 (直接経費: 10,400千円、間接経費: 3,120千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】16K05214 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

腫瘍浸潤モデル / 非局所項 / 生体モデル / 偏微分方程式 / コンピュータシミュレーション / 解の存在と挙動 / 走化性方程式 / 非線形発展方程式 / 数理モデル / 腫瘍浸潤現象 / シミュレーション / ケラージーゲル系 / 一般化された微分作用素 / 解の挙動 / Nカドヘリン / 解析学 / 数理生物 / 腫瘍 / 自己組織化

【研究成果の概要】

M.Chaplainらによる非局所腫瘍浸潤モデルにおいて抽象的に与えられた非局所項について適切な数学的枠組みを設定しその特徴づけと、滑らかな時間大域解の存在及び解の挙動を示した。非局所項における定義域の不整合がChaplainら自身によって修正され、それを用いて定義域の拡張を行い特異積分作用素等に類似した一般化された微分作用素として捉え、モデルのエネルギー評価式を導き、上記の結果を得ることで、モデルとして及び数学的な妥当性を保証することに成功した。
モデルの妥当性の根拠として、彼らは非局所項のテイラー展開を用いたが、彼らの数学解析ではこれに必要な解の滑らかさは得られず、ここが困難点となっていた。

【研究の社会的意義】

がんや腫瘍の特定と治療は早急に克服すべき人類最大の課題の一つである。そのため腫瘍の発現や発達のメカニズムの解明は急務であろう。しかしこれらの多くは数学的に新しい問題を内在しているが、その数理モデルの導出原理や方程式の理論解析が十分とはいえない。本課題研究では生命科学で重要な研究対象である「腫瘍」の数理モデルの数学解析と医学への応用について研究する。そのため十分な説得力をもつ非局所腫瘍浸潤モデルを取り上げ、適切な数学的枠組みを与え、滑らかな時間大域解の存在とその漸近挙動を示した。これはモデルとシミュレーションの妥当性を保証し、測定不可能な腫瘍侵潤部分、進行速度の特定など医学への貢献が期待される。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2016-04-01 - 2019-03-31

【配分額】4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】24740079 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

偏微分方程式論 / 確率論 / 解析学 / 変分法 / ボース・アインシュタイン凝縮 / 確率解析 / 数値解析 / 国際研究者交流（フランス・イタリア） / 偏微分方程式 / BEC

【研究成果の概要】

グロス・ピタエフスキー方程式に時間のみに依存するホワイトノイズが摂動に加わった方程式について, 安定な渦に対するノイズの影響を変調パラメータ解析により計算し, 変調パラメータがどのくらい長い間意味を持つか, ノイズの影響を受けながらも渦の初期状態がどのくらいの間保たれるのかを評価した. また, 半古典近似の考え方を用いて, 周期的光学格子にトラップされているボース・アインシュタイン波動関数の離散シュレディンガー方程式による近似を正当化した.　離散シュレディンガー方程式による近似を応用して, 粒子間相互作用が斥力の場合でも, 波動関数の局所化が現れる場合があることを数学的に証明した.

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2012-04-01 - 2015-03-31

【配分額】4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】21740089 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

関数方程式論 / 解析学 / 確率論 / 数理物理 / 偏微分方程式 / 非線形Schrodinger方程式 / 定常解の安定性 / 変分解析 / 確率微分方程式

【研究成果の概要】

光学ポテンシャル下で捕えられたボース・アインシュタイン凝縮のモデル方程式で, レーザー振動数のゆらぎの影響を考慮した方程式に関し, 確率線形シュレディンガー方程式の基本解を構成することで解の存在を示し, 数学的にモデルの正当化を行った. また, 安定な定在波の長時間挙動が, 時間に関するホワイトノイズから受ける影響を数学的に表現した. 一方で, 中空コア光ファイバーを伝播するレーザーを表わすモデルの高エネルギーモード解の安定性を調べ, レーザーが伝わる媒質中に対称な2点不純物が存在するときの定常波解の対称性の破れを証明した.

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2009 - 2011

【配分額】4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)