【研究分野】哲学・倫理学

【研究領域課題番号】17H02263 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数学の哲学 / 計算の哲学 / 数学基礎論 / 論理学の哲学 / 証明論 / 集合論 / 数理論理学 / 哲学

【研究成果の概要】

現代の数学の哲学には (1) 数学の算術および集合論への還元，(2) 一階論理上での集合論の公理化，(3) 一階論理による証明概念の形式化，(4) チューリング機械による計算可能性の特徴付けという[四つの原理]がある．本研究はこの［四つの原理］と現代の[標準的数学観]の関係，［四つの原理］とそれらの相互の関係をに検討することで，数学の哲学の新たな展開と，計算・推論・情報の概念の哲学的解明を目指すものである．2020年度中は新型コロナウイルス感染症の拡大の影響のため研究会やワークショップの開催ができなかった．そのため，2020年度中は分担者の個人研究及び共同研究によって研究を実施し，以下の成果を得た．(1) 意味論と価値論の関係，システムの概念の分析を行なった．特に，意味論と構文論の関係と主観と客観の関係の同型性，要素・全体・環境という三層構造における機能の概念に基づくフレーゲの文脈原理および合成原理の再解釈を行なった．(2) PRA 証明論，証明論的順序構造と項書き換え系，図的情報提示の論理デザインのための社会心理学的調査，線形論理の観点による存在論的 TM 意味論研究，デフォルト推論の意味論と computer security への応用を考察した．(3) 直観主義論理（あるいはそれよりさらに弱い最少論理）に特殊な命題定項を加えた拡張言語への強い論理（古典論理等）の埋め込みについて議論した．(4) フレーゲの関数概念とラムダ抽象の関係の再考を行ない，フレーゲの関数概念には表現におていも内容においても未熟で不整合な点があることについて議論した．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2017-04-01 - 2022-03-31

【配分額】16,640千円 (直接経費: 12,800千円、間接経費: 3,840千円)

【研究分野】数学基礎・応用数学

【研究領域課題番号】25400207 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

集合論 / 位相空間論 / 強制法 / 巨大基数公理 / 数理論理学 / 無限組合せ論 / 巨大基数 / コンパクト化 / 選択公理 / 公理的集合論 / 基数不変量 / 和集合公理 / 国際情報交換（アメリカ） / 国際情報交換

【研究成果の概要】

本研究の開始後に、当初想定できなかった研究遂行の障害が複数件生じ、当初想定していた研究方法の大幅な縮小を余儀なくされ、特に、主題として設定した「巨大基数公理を用いた集合論の手法による位相空間論へのアプローチ」については、特筆すべき成果を挙げられなかった。その一方、本研究の遂行の過程で派生的に生じた、「(1) 点列の集合への収束とコーエン強制」 「(2) 和集合公理を除いた集合論の公理系における、種々の選択公理関連命題の強弱関係」「(3) 囚人の帽子パズルの無限集合への一般化」の3点の集合論および位相空間論の問題については、興味深い成果が得られており、今後の研究の進展も期待できる。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2013-04-01 - 2018-03-31

【配分額】2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】15540107 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ラムダ計算 / BCK論理 / チャーチ / 古典論理 / Curry-Howard対応 / 直観主義論理 / ラッセルの逆理 / 集合論 / 数理論理学 / P=NP問題 / 極小論理式 / 部分構造論理

【研究成果の概要】

研究分担者たちの活発な研究活動により,体系BCKβηと古典命題論理の証明図の性質は明らかになりつつある。ここでは,研究代表者の古森による2つの成果について述べる。
第一のものは体系BCKβηに関するものである。体系BCKβηを用いてチャーチの当初の目論見を再生するためには,体系BCKβηで古典論理のシミュレーションが論理的にできる必要がある。直観主義論理で古典論理のシミュレーションができることは知られているので,体系BCKβηで直観主義論理のシミュレーションが論理的にできることが分かればよい。これについて古森は二つの方法を提示し,そのどちらについても次もことを示した:
変換*が存在し,任意の直観主義論理の論理式Aにたいして,A*は体系BCKβηの論理式でAが直観主義論理で証明できるならばA*は体系BCKβηで証明できる。
この逆A*が体系BCKβηで証明できるならば,Aが直観主義論理で証明できるが示せれば,体系BCKβηで直観主義論理のシミュレーションが論理的にできることが示されたことになる。しかし,逆はまだ未解決である。二つの方法のうちの一つは,変換*が単純なものであり,もう一つは変換は少し複雑になるが逆の証明のことを考えたものである。後者について,逆が成立することを示すことは残された大きな課題である。
第二のものは1998-1999年度の科学研究費補助金で行った研究「部分構造論理の研究」の研究成果報告書で述べた第二の成果と関係している。そこで述べた体系を更に改良した体系λρという古典論理の体系を作り,その体系のChurch-Rosser性を証明した。その証明は全く新しいものであり,その方法で他の体系のChurch-Rosser性の新たな証明が得られることも判明した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2003 - 2006

【配分額】3,500千円 (直接経費: 3,500千円)

【研究分野】数学一般

【研究領域課題番号】61302010 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理論理学 / 数学基礎論 / 証明論 / 集合論 / 模型論 / 構成的数学 / 帰納論 / 超準解析 / 数学史 / 超準解析数学史

【研究成果の概要】

本研究では、以下のとおり、五つの研究班を組織した。各班は互に情報交換を行ない、随時研究集会を開き、研究発表、討論を行なった。以下に各班毎に、主な研究成果を列参する。
I班(証明論・方法論):弱いinductive definitimを持ったanthmeticとordinalの関係が明らかにされた。Peame arithmetic及びその部分体系におけるreflection principleや,Paris-Harrinton principleとそれと同等の命題に関する結果が得られた。fundamental sequencesのbuilt-up systemの一般化が得られた。
II班(集合論・模型論):modalityを有する集合論とintemsimalityを有する集合論が提出された。アーベル群の構成と巨大基数との関連付けがなされた。W-stable ringsの諸性質があきらかにされた。
III班(構成的数学・一般帰納論):Fuzzy計算可能性の理論が作られた。Beesonの体系RRSの無矛盾性証明がなされた。証明論的汎関数の二階建て理論が作られた。
IV班(論理構造論):中間述語論理での量化子による様相演算子の解釈が得られた。構造規則を一部分しか持たない論理について、そのシンタクスとセマンディクス、及びラムダ計算やカテゴリー文法とその関係が統一的に論じられた。
V班(超準空間論):非有限論理での無限小微積分の解釈がなされた。iterated polynomialに関する超準解析における種々の性質が明らかにされた。Hilbertの既約性定理に関し、Z-Jfが有限なるための条件が与えられ、その限界が多項式として与えられることが示された。一つの超準集合論の中で、NST、TST、NATE、NS_2、*NSTの五種類の超準集合論のモデルが存在することが示された。

【研究種目】総合研究(A)

【研究期間】1986 - 1988

【配分額】9,300千円 (直接経費: 9,300千円)