【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】18340013 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

特異点論 / 微分幾何 / 偏微分方程式 / シンプレクテイック幾何 / 接触幾何 / 画像処理,ブレーン宇宙 / 重力場レンズ / ラグランジュ特異点 / ルジャンドル特異点 / 反ドジッター空間 / ブレーン / 斜傾幾何学 / ルジャンドル双対性 / 双対性の曼荼羅 / 画像処理 / 反ド・シッター空間 / ガウス・ボンネ型定理 / ホロタイトはめ込み / ホロ凸 / ホロ平坦 / シンプレクテイック幾何学 / 擬球面 / 相対性理論 / 双対性 / ミンコフスキー空間 / ホロ球面 / 線形ワインガルテン曲面 / 非ブライアント型 / 双曲空間

【研究成果の概要】

この研究を通して、微分幾何学、シンプレクテイック幾何学、非線形偏微分方程式などの数学内部の対象へ特異点論を応用し、様々な結果を得たばかりではなく宇宙物理学など、周辺科学と関連性のある結果を得た。特に、特異点論を様々な種類の空間形の部分多様体に応用することにより、様々な幾何学(ホロ球面的幾何学、斜傾幾何学)を構成し、その不変量の導入とその幾何学的意味を明らかにした。その結果、ブレーン宇宙論や一般相対性理論におけるモデル空間に現れるブラックホールなどの事象の地平線の形状やその特異点の幾何学的意味付けなどを得ることができた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2006 - 2009

【配分額】15,680千円 (直接経費: 12,800千円、間接経費: 2,880千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】16340035 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ウェーブレット / ウェーブレットフレーム / 調和解析 / 錯視 / 視覚皮質 / 色覚 / 認知 / 直交関数系 / 偏微分方程式 / 視覚 / フレーム / フレームレット / 視覚情報処理 / 画像処理 / 色彩 / マルチプライヤー / 線形代数 / フィルター・バンク / 明暗の錯視 / カフェウェール錯視 / フィルタバンク

【研究成果の概要】

本研究プロジェクトの主たるテーマは(マルチ)ウェーブレットフレームと調和解析である.代表者の新井はウェーブレットフレームならびにその視覚科学への応用について研究を行った.特に新井は視覚科学の研究に適した新しいウェーブレットフレームを構成した(S.Araiと共同).このウェーブレットフレームは人間の視覚系の計算論的なモデルの構成の基礎となりうるものである.これに加えて新井は画像処理への実用的応用の研究も計画した.さらに新井は色覚の計算論的モデルの構成もし,色に関する錯視の計算機シミュレーションも行った.錯視発生のメカニズムも研究した.特に新井は視覚の離散ウェーブレット解析の新しい一般的なスキームを提唱した.錯視はわれわれの視覚系がどのように視覚情報を処理しているかを解明するための鍵であると考えられている.この理由から100年以上前から錯視に関して多くの研究がなされてきた.今回の研究プログラムにおいて新井は初期視覚のウェーブレットフレームを用いた非線形モデルを構成し,ある種の錯視発生の数学的なメカニズムを解明した.詳しく言えば,新井は人間の脳のV1の機能をモデルにしたフィルタバンクを構成し,そしてそれを用いてわれわれの視覚系がどのように錯視を生み出すかを示す多くの計算機シミュレーションを行った.この研究によって,多くの錯視が数学的な統一的方法で説明することができるようになった.ある画像を新井が考案したシステムに入力し,もし錯視を伴った画像が出力されるならば,それがV1における情報処理によるものであると考えることができる.勘甚は直交関数系の調和解析の研究を行った.たとえば彼はチェザロ作用素のLpそしてHpでの有界性を証明した.中村は解析的波面集合の平滑化作用について研究を行った.吉田は確率微分方程式のサンプリング問題を研究した。立澤は荷重つき関数空間をウェーブレット解析の視点から研究した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2004 - 2006

【配分額】8,400千円 (直接経費: 8,400千円)