【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】17654012 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ケーラー・アインシュタイン計量 / 乗数イデアル層 / トーリック多様体 / Fano多様体 / リッチ・ソリトン / スカラー曲率 / ケーラー多様体 / シンプレクティック多様体 / モーメント写像 / GIT安定性 / 安定性 / 定スカラー曲率計量 / 佐々木多様体 / アインシュタイン計量

【研究成果の概要】

今年度は,ケーラー・アインシュタイン計量の存在およびケーラー・リッチソリトンの存在問題において,モンジュ・アンペール方程式の近似解が収束しない場合に現れる乗数イデアル層についての成果を得た.これらの乗数イデアル層と二木不変量との関係を調べることは代数多様体の幾何学的不変式論の意味の安定性,特にスロープ安定性と呼ばれる性質とケーラー・アインシュタイン計量の存在との同値性に関する予想を証明する上で有用である.まず,ケーラー・アインシュタイン計量の存在問題から現れる乗数イデアル層については次の結果が得られた.XをトーリックFano多様体とし,Xはケーラー・アインシュタイン計量を持たないとする.GをXの自己同型群の極大コンパクト部分群,G^Cをその複素化とする.VをG-不変計量を初期計量とするG^C-不変乗数イデアル層の定める部分概型のサポートとする.もし,ある正則ベクトル場に対し二木不変量が正とすると,そのベクトル場が定める半空間とモーメントポリトープの共通部分にVのモーメント像が入ることはない.この結果を用いると2次元射影平面の1点blow-upの乗数イデアル層のサポートが決定できる.ケーラー・リッチソリトンの存在問題は二木不変量の代わりにTian-Zhuの不変量を用いると任意の正則ベクトル場について同様の主張が成立することがわかる.これを用いると2次元射影平面の1点blow-upにケーラー・リッチソリトンが存在することの別証明が得られる.

【研究種目】萌芽研究

【研究期間】2005 - 2007

【配分額】3,100千円 (直接経費: 3,100千円)

【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】16204006 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

幾何学 / extremal metric / 安定性 / balanced metric / 退化 / 定スカラー曲率 / test configuration / obstruction / Test configuration / Hitchin-Kobayashi対応 / 定スカラー曲率ケーラー計量 / 漸近安定性 / Chow-mumford安定性 / Hilbert-mumford安定性 / extremal-Kahler計算 / 偏極代数多様体 / 存在問題 / Chow-Mumford漸近安定性 / Hilbert-Mumford漸近安定性 / Caltin-Lu-Tian-Zelditch / extremal Kahle計量 / 射影kahler多様体 / Extremal metric / Zhangの臨界計量 / 漸近的ベルグマン核 / Kahler-Einstein計量 / Chow計量

【研究成果の概要】

Extremal metricの存在問題と関連して,代数多様体のモジュライ理論おける種々の安定性の間の関係を調べた:
(1)特にHilbert-Mumford安定性とChow-Mumford安定性との漸近的同値性を示すことに成功した.
(この問題については,従来はChow-Mumford安定性がHilbert-Mumford安定性を導くことはFogartyらによって知られていたが,その逆は,漸近的と言えども,何も知られていなかった.)
一方,Extremal metricの例としては,Kahler-Einstein計量,定スカラー曲率ケーラー計量,extremal Kahler計量,Kahler-Ricci soliton等が知られており,さらに,その実奇数次元の類似物としてのSasaki-Einstein計量も,数理物理学との関連から最近大きな注目を浴びている.我々の研究では,特にKahler-Einstein計量および定スカラー曲率ケーラー計量の構成・存在問題や,Kahler-Ricci solitonを通してのSasaki-Einstein計量の存在問題に取り組んだ:
(2)Kahler-Einstein計量のexplicitな記述に関連して,toric Fano曲面でのKahler-Einstein計量やKahler-Ricci solitonの方程式からR^2のある有界C^2凸領域でのhyperbolic affine sphereの方程式の類似物を得た.こうして得られた方程式の解に関し,境界に沿う具体的な漸近展開が得られた.
(3)Kahler-Einstein Fano多様体,またはtoric Fano多様体のanticanonical bundle上のRicci-flat計量がSasaki-Einstein計量を誘導するが,より一般にnon-toricなKahler-Ricci solitonをもつFano多様体の場合の類似の例の考察を行った.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2004 - 2007

【配分額】27,820千円 (直接経費: 21,400千円、間接経費: 6,420千円)

【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】10440021 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

シンプレクティック構造 / ケーラー構造 / 標準束 / 反標準束 / Kahler-Einstein計量 / 小林-Hitchin対応 / 二木指標 / 安定性 / シンプレティック構造 / Tian / Kahler-Einstein軽量 / 複数幾何 / 複素幾何

【研究成果の概要】

コンパクトなケーラー多様体上の正則ベクトル束に対する小林-Hitchin対応の動場版として.Chow-mumfordの意味での安定性を微分幾何学的な概念で言い換えようという試みが.Tianらによって始まっている。
(1)我々は、対応の基礎となる-意性定理がKahler-Einstein計量の自然な一般化に対しても成りたつことを示した。(これは最近のTian-Zhuの仕事と競合している。)
また.対応の動場版そのものについては、次の2方向から研究した。
(2)中川との共同研究で.板東・カラビ・二木指標を.多様体の半安定性への障害として特徴付けることに成功した。この結果は藤木の先駆的な仕事に多くのものを負っている。
(3)偏極多様体の場合は漸近的な安定性が問題になるが,これは複素解析的には漸近的に構成されるベルグマン計量の存在と深くかかわってくることが分かった。そして現在では、小林-Hitchin対応の動場版のasymptotic versionを.主にこの方向から集中的から組織的の研究している。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1998 - 2000

【配分額】11,600千円 (直接経費: 11,600千円)

【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】09640084 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

階数1対象空間 / CR構造 / 調和写像 / 極小写像 / Klein群 / 共形平担多様体 / Einstein-Kahler計量 / 安定性 / 階数1対称空間 / アインシュタイン計量 / 二木指標 / クライン群 / 共形平坦多様体 / 複素クライン群 / 擬エルミート構造 / アインシュタイン・ケーラー計量 / 平均曲率一定曲面

【研究成果の概要】

研究代表者・納谷信は,階数1対称空間の離散変換群の無限遠境界への作用を考え,その不連続領域上に定義される群作用で不変な標準的計量の研究を行なった.とくに,対称空間が複素双曲空間の場合に,商多様体のコホモロジー群の消滅について研究をすすめるとともに,CR構造,擬エルミート構造,田中-Webster接続の四元数的類似を定式化し,対称空間が四元数双曲空間の場合の標準的計量の研究に応用した.また,階数2以上の対称空間の場合への一般化に向けて,Furstenberg境界上の幾何構造について考察し,若干の知見を得た.
研究分担者・芥川和雄は,双曲型空間からある非完備な負曲率リーマン多様体への調和写像の研究を行った.とくに,その無限遠境界値問題の解の存在・一意性・正則性に関する結果を得た。また,リーマン多様体の間の極小写像に関して基礎的研究を行い,双曲円板の間の極小微分同相写像について,その存在・表現に関する結果を得た.
井関裕靖は,球面の領域をKlein群の作用で割って得られる共形平坦多様体上の平坦Hilbert空間束のコホモロジーに対する消滅定理を証明し,Klein群の極限集合のHausdorff次元の研究への応用を与えた.
中川泰宏は,Einstein-Kahler計量の存在に対する障害である二木指標を一般化した板東-Calabi-二木指標について考察した.二木指標については,これをGodbillon-Vay不変量として解釈するという二木-森田の結果が知られているが,この結果を板東-Calabi-二木指標の場合に拡張した.
西川青季は,上野慶介氏(山形大学)と共同で,負曲率等質多様体間の調和写像の無限遠境界値問題に関して研究を行った.とくに,対称空間でない負曲率等質多様体の典型的例を与えるCarnot空間の間の調和写像の無限遠境界値問題に対して,境界値がみたすべき必要条件,解の一意性,および適切な必要条件をみたす境界値に対する解の存在を証明した.
板東重稔は,ケーラー多様体や複素正則ベクトル束におけるアインシュタイン計量の存在問題,および安定性・退化現象との関連を研究した.また,安定性が成り立たないときにに発生する退化現象の極限として出現する特異幾何構造の研究も行った.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1997 - 1998

【配分額】3,100千円 (直接経費: 3,100千円)