Discovery Sagaサイレントキーワード俯瞰

アーベル多様体 / モジュライ / コンパクト化 / McKay対応 / データ関数 / Calabi-Yau多様体 / 余不変代数 / Quiver多様体 / テータ関数 / マッカイ対応 / 余不変式環 / Abel多様体 / Griffiths領域 / Floer homology / 一般化Whittaker模型 / 楕円曲線 / レベルN構造 / Abel 多様体 / Stability

本研究では,モジュライ空間とそのコンパクト化の研究および,ある特定の代数多様体をある別の幾何学的な対象のモジュラィ空間と同一視してその立場から,その代数多様体を研究することを目標とした。具体的には以下のような問題を考察することを目標とした:(a)商特異点C^3/Gの特異点解消のモジュライ空間としての研究,構造の決定.(b)Kempf安定性によるモジュライのコンパクト化の構成.(c)アーベル多様体のモジュライ空間A_<g,N>のZ[1/N]上の自然なコンパクト化SQ_<g,N>および関連するモジュライ空間の研究.そのおのおのについて相当程度の成果が得られた.
おもなものは二つある.その第一は,Hilbert scheme of G-orbitsの研究であり,単純特異点のMcKay対応とよばれる20年以上も前から知られる現象に新しい説明を与え,さらに3次元に拡張して多くの新しい問題を提起し,多くの新しい成果を得たことである.とりわけ3次元ないし高次元への拡張は,研究代表者のアイデアによって研究の方向が提唱され,多くの関連する研究が続いた.その意味で,McKay対応の研究史における本研究の意義は少なくない.とりわけ,代表者の証明した事実のひとつは,Hilbert scheme of G-orbitsがC^3/Gの極小特異点解消のなかでもっとも自然なものだということである.これは従来の理論にはなかったことであり,代数幾何学における従来の常識を破る性格を持ち,多くの研究者によって驚きをもって迎えられた.もう一つはアーベル多様体のModuli空間A_<g,N>の自然なコンパクト化を構成したことである.このコンパクト化は射影的であり,望ましいコンパクト化の性質を持つ.不変式理論の立場からは,安定性によって簡明にその本質を表現できるという点で,正統な,しかもそのような唯一のコンパクト化である.

表現論 / 特異点 / 単純特異点 / Mackey反応 / アーベル多様体 / モジュライ / 安定性 / McKay対応 / マッカイ対応 / 商特異点 / ヒルベルトスキーム / スタビリィティ(安定性) / ヒルベルトスキーム / マッケイ対応 / トーリック多様体 / ツイスター空間 / ハイパーケーラー多様体 / モノドロミ- / 横断性定理

単純特異点のMcKay対応のおよびアーベル多様体のModuli空間の自然なコンパクト化について研究した。
(1)SU(2)の有限部分群Gに対して単純特異点C^2/Gの最小特異点解消をHilbert scheme of G-orbitsとして構成できる。この構成により,C^2/Gの特異点解消の例外集合の各点にはC^2のG-不変なイデアルIが対応し、有限次元ベクトル空間I/mIは自明なG加群ともう一つの既約なG加群V(I)の直和になる。ただし,mはC^2の原点の極大イデアル。I→V(I)の対応で、例外集合の既約成分のDynkin図形と、Gの既約表現のDynkin図形は一致する。これはMcKay対応の新しい説明を与える。
(2)GがSL(3)の可換な部分群のとき,特異点C^3/Gの最小特異点解消をHilbert scheme of G-orbitsとして構成した。GがSL(3)の単純部分群の場合などにHilbert scheme of G-orbitsの構造を決定した。
(3)アーベル多様体のModuli空間A_<g,N>の自然なコンパクト化を構成した。
定理アーベル多様体のモジュライ空間は退化した(あるいは非特異な)アーベル多様体のモジュライ空間SQ_<g,N>としてコンパクト化される。SQ_<g,N>の各点はあるコンパクトな退化した(あるいは非特異な)アーベル多様体の同型類を表わす。

【研究分担者】
桂利行	東京大学	大学院・数理科学研究科	教授	(Kakenデータベース)
筱田健一 (篠田健一)	上智大学	理工学部	教授	(Kakenデータベース)
諏訪立雄	北海道大学	大学院・理学研究科	教授	(Kakenデータベース)
中島啓	京都大学	大学院・理学研究科	教授	(Kakenデータベース)
斉藤政彦	神戸大学	理学部	教授	(Kakenデータベース)
松本圭司	北海道大学	大学院・理学研究科	助教授	(Kakenデータベース)
小野薫	北海道大学	大学院・理学研究科	教授	(Kakenデータベース)
山田裕史	岡山大学	理学部	教授	(Kakenデータベース)
島田伊知朗	北海道大学	大学院・理学研究科	助教授	(Kakenデータベース)
臼井三平	大阪大学	大学院・理学研究科	教授	(Kakenデータベース)
山下博	北海道大学	大学院・理学研究科	助教授	(Kakenデータベース)
江口徹	東京大学	大学院・理学系研究科	教授	(Kakenデータベース)

【研究分担者】
岡睦雄	東京都立大学	理学部	教授	(Kakenデータベース)
石川剛郎	北海道大学	大学院・理学研究科	助教授	(Kakenデータベース)
諏訪立雄	北海道大学	大学院・理学研究科	教授	(Kakenデータベース)
桂利行	東京大学	大学院・数理科学研究科	教授	(Kakenデータベース)
江口徹	東京大学	理学部	教授	(Kakenデータベース)
筱田健一 (篠田健一)	上智大学理工学部	教授	(Kakenデータベース)
吉田知行	北海道大学	大学院理学研究科	教授	(Kakenデータベース)
泉屋周一	北海道大学	大学院理学研究科	教授	(Kakenデータベース)
石田正典	東北大学	大学院・理学研究科・数学	教授	(Kakenデータベース)
藤木明	大阪大学	大学院・理学研究科・数学	教授	(Kakenデータベース)
島田伊知朗	北海道大学	大学院・理学研究科	助教授	(Kakenデータベース)
山下博	北海道大学	大学院・理学研究科	助教授	(Kakenデータベース)