【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】17654012 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ケーラー・アインシュタイン計量 / 乗数イデアル層 / トーリック多様体 / Fano多様体 / リッチ・ソリトン / スカラー曲率 / ケーラー多様体 / シンプレクティック多様体 / モーメント写像 / GIT安定性 / 安定性 / 定スカラー曲率計量 / 佐々木多様体 / アインシュタイン計量

【研究成果の概要】

今年度は,ケーラー・アインシュタイン計量の存在およびケーラー・リッチソリトンの存在問題において,モンジュ・アンペール方程式の近似解が収束しない場合に現れる乗数イデアル層についての成果を得た.これらの乗数イデアル層と二木不変量との関係を調べることは代数多様体の幾何学的不変式論の意味の安定性,特にスロープ安定性と呼ばれる性質とケーラー・アインシュタイン計量の存在との同値性に関する予想を証明する上で有用である.まず,ケーラー・アインシュタイン計量の存在問題から現れる乗数イデアル層については次の結果が得られた.XをトーリックFano多様体とし,Xはケーラー・アインシュタイン計量を持たないとする.GをXの自己同型群の極大コンパクト部分群,G^Cをその複素化とする.VをG-不変計量を初期計量とするG^C-不変乗数イデアル層の定める部分概型のサポートとする.もし,ある正則ベクトル場に対し二木不変量が正とすると,そのベクトル場が定める半空間とモーメントポリトープの共通部分にVのモーメント像が入ることはない.この結果を用いると2次元射影平面の1点blow-upの乗数イデアル層のサポートが決定できる.ケーラー・リッチソリトンの存在問題は二木不変量の代わりにTian-Zhuの不変量を用いると任意の正則ベクトル場について同様の主張が成立することがわかる.これを用いると2次元射影平面の1点blow-upにケーラー・リッチソリトンが存在することの別証明が得られる.

【研究種目】萌芽研究

【研究期間】2005 - 2007

【配分額】3,100千円 (直接経費: 3,100千円)

【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】09440027 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

アインシュタイン / 調和写像 / カルノー群 / グラフのラプラス作用素 / トーリック多様体 / 反応拡散方程式系 / 複素クライン群 / 二木指標 / 安定性 / グリーン関数 / カルノ-群

【研究成果の概要】

・板東は、ケーラー多様体や複素正則ベクトル束のアインシュタイン計量の存在問題を研究した。アインシュタイン計量の存在と多様体の安定性は密接な関係があると思われるが、それに関わる汎関数の有用な表示を得た。また、調和な幾何学的対象の存在をグリーン関数を用いて研究する論文を纏めた。
・西川は、上野慶介氏(山形大学)と共同で、負曲率等質多様体間の調和写像の無限遠境界値問題と、複素双曲型空間形の間の調和写像の複素解析性に関して研究を行った。境界までC^4級にのびる固有な調和写像で、理想境界上で非退化なCR写像であるものは、正則写像に他ならないことを示した。
・浦川は、調和写像、ヤングミルズ接続などの研究を引続き行なう一方、それらの手法を離散化してグラフ上で行ない、有限、または無限グラフのラプラス作用素のスペクトル、グリーン核などの評価、調和写像の離散的なアナロジーなどの研究を行なった。
・石田は、トーリック多様体と密接な関係のある(有理)扇の拡張である実扇を研究した。実扇上の次数付き外積加群のカテゴリーを導入し、そこでの双対化関手を定義し、セールの双対性定理やポアンカレの双対性定理に相当する定理を示した。
・高木は、生物の形態形成の基礎モデルとしてA.GiererとH.Meinhardtによって提唱された反応拡散方程式系に関する研究と、赤血球の形態変換のモデルとなる曲げエネルギー汎函数に対する制約極値問題に関する研究を行った。
・井関は、実双曲空間に作用するクライン群のエントロピー剛性および凸ココンパクト性に関する研究を行った。凸ココンパクトなクライン群の極限集合のハウスドルフ次元と、群のコホモロジー次元の間の不等式に関する予想を部分的に解決した。
・中川は、板東・Calabi・二木指標について研究し、Fano多様体の場合にわかっていたいくつかの性質を、一般の射影的代数多様体のKahler類にまで拡張した。ある仮定の下で、板東・Calabi・二木指標の羃単部分群のLie環の上の消滅や、板東・Calabi・二木指標の群の指標へと持ち上げの存在を示した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1997 - 1999

【配分額】13,700千円 (直接経費: 13,700千円)

【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】08404001 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

表現論 / 特異点 / 単純特異点 / Mackey反応 / アーベル多様体 / モジュライ / 安定性 / McKay対応 / マッカイ対応 / 商特異点 / ヒルベルト スキーム / スタビリィティ(安定性) / ヒルベルトスキーム / マッケイ対応 / トーリック多様体 / ツイスター空間 / ハイパーケーラー多様体 / モノドロミ- / 横断性定理

【研究成果の概要】

単純特異点のMcKay対応のおよびアーベル多様体のModuli空間の自然なコンパクト化について研究した。
(1)SU(2)の有限部分群Gに対して単純特異点C^2/Gの最小特異点解消をHilbert scheme of G-orbitsとして構成できる。この構成により,C^2/Gの特異点解消の例外集合の各点にはC^2のG-不変なイデアルIが対応し、有限次元ベクトル空間I/mIは自明なG加群ともう一つの既約なG加群V(I)の直和になる。ただし,mはC^2の原点の極大イデアル。I→V(I)の対応で、例外集合の既約成分のDynkin図形と、Gの既約表現のDynkin図形は一致する。これはMcKay対応の新しい説明を与える。
(2)GがSL(3)の可換な部分群のとき,特異点C^3/Gの最小特異点解消をHilbert scheme of G-orbitsとして構成した。GがSL(3)の単純部分群の場合などにHilbert scheme of G-orbitsの構造を決定した。
(3)アーベル多様体のModuli空間A_<g,N>の自然なコンパクト化を構成した。
定理 アーベル多様体のモジュライ空間は退化した(あるいは非特異な)アーベル多様体のモジュライ空間SQ_<g,N>としてコンパクト化される。SQ_<g,N>の各点はあるコンパクトな退化した(あるいは非特異な)アーベル多様体の同型類を表わす。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1996 - 1999

【配分額】16,300千円 (直接経費: 16,300千円)