【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】17K05339 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Navier-Stokes / 非有界領域 / ancient solution / 周期解 / 概周期解 / Ap-weight / Navier-Stokes方程式 / Lorentz空間 / 時間周期解 / 特異積分 / ２次元h非有界領域 / 安定性 / Muchkenhoupuptクラス / 外部領域 / 定常解 / エネルギー不等式 / 解の一意性 / 函数空間 / 補間理論 / 解析学 / 関数方程式論 / 実関数論

【研究成果の概要】

２次元全空間上のNavier-Stokes方程式について、時間に依存する小さい外力がある場合について、小さいancient solutionの存在、一意性を示し。さらに解の初期摂動についての安定性についての安定性を示した。
ancient solutionは定常解はもとより、時間周期解、時間概周期解答を統一的に取り扱う概念である。有界領域では絵画指数的に減衰するので容易であるが、非有界領域では減衰が遅いところのに困難がある。この問題は３次元以上の全空間および外部領域では申請者によって既に解かれていたが、本年には２次元での考察を始めた。当面全空間の場合について考察を行って成果を得た。成果は査読付き専門誌に掲載された。
２次元では拡散効果が不十分であるから、この研究ではデータにある種の対称性を仮定し、さらに取り扱う関数空間も３次元以上で有効であったものが２次元の場合には使えないためAp-weightと呼ばれるクラスに属する重みのついた関数空間上で方程式を扱った。またGauss核をFourier multiplierとみなせ、これがAp-weightに属する重みのついて空間上で有界作用素となることを用いて結果を得た。
全空間での結果は外部領域を取り扱う際の基礎となるものである. 実際内部領域では重みがある場合と重みがない場合が本質的に差がないことを用いれば、既存の内部領域での結果を重みのある場合に書き換え、これと今回得られた全空間の結果を張り合わせることによりこの結果を外部領域に拡張できることが期待される。これは次年度以降に研究を行う。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2017-04-01 - 2023-03-31

【配分額】4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】13640157 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Navier-Stokes方程式 / 外部領域 / 定常解 / 周期解 / 安定性 / 境界値問題 / Lorentz空間 / 実補間 / Morrey空間 / Besov空間 / 半線型熱方程式 / 境界値 / 汎弱位相

【研究成果の概要】

柴田良弘教授との共同研究によって、n次元空間の外部領域におけるNavier-Stokes方程式のphysically reasonable solutionの自然な拡張となる定常解が一意的に存在するための、時間に依存しない外力に関する十分条件で、流体の無限遠方での速度が0である場合と0と異なる場合とを統一的に扱えるものを、Lorentz空間の双対性および実補間の理論を用いて、3以上のすべての整数nに対して与えた。
また、柴田教授および榎本裕子助手との共同研究によって、上で得た定常解は、弱Ln-空間に属する初期摂動を加えたとき、時間発展について弱Ln-空間において安定であることを示し、さらにこの摂動の大きさは、流体の無限遠方での速度について一様であることを示した。
さらに、定常解についてのこれらの結果を、外力が時間に依存する場合に拡張し、対応する時間周期解、あるいは概周期解の一意存在のための外力に関する十分条件を、劣線型作用素に対する実補間を用いて得た。またこれらの解の初期摂動および外力の摂動に関する、流体の無限遠方での速度について一様な、弱Ln-空間における安定性を示した。
一方、外部領域に関するこれらの結果をより一般の非有界領域に拡張するための準備として、阿部孝之大学院生との共同研究によって、平行平板間におけるStokes方程式の境界値問題についてのLp-理論を、高階のSobolev空間およびBesov空間に拡張し、これらの空間に属するStokes方程式の解が一意的に存在するための、外力に関る十分条件を得た。特にpが無限大の場合には解の一意性が成立せず、外力及び境界値が0に対する解としてPoiseuille流が特徴づけられることを示した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2001 - 2004

【配分額】3,800千円 (直接経費: 3,800千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】11640156 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Navier-Stokes方程式 / Lorentz空間 / Morrey空間 / ^*-弱収束 / 周期解 / 概周期解 / 外部領域 / 安定性 / *-弱収束 / Besov空間 / Hardy空間

【研究成果の概要】

全空間あるいは外部領域におけるNavier-Stokes方程式について、これまでの研究では外力が時間に依存しない場合に、定常解の一意存在及び初期摂動に関する安定性について研究していたが、この研究では外力が時間に依存する場合について、解の一意存在とその摂動についての安定性についての研究を行った。この研究は時間について周期的、あるいは概周期的な外力がある場合に、同じ周期を持つか、あるいは概周期的な解の存在、一意性及び安定性についての研究を一般化したものである。
全空間の場合は解の属する空間としてMorrey空間を用い、これまでに小薗英雄氏、中尾慎宏氏、谷内靖氏らによって通常のLp-空間について得られた結果をMorrey空間に拡張することに成功した。外部領域の場合は解の属する空間として弱Lp-空間を用い、これまでの研究で必要だった外力についての仮定を大幅に一般化することに成功するとともに、これまでに得られていなかった空間3次元の外部領域における解の一意存在を証明することに成功した。
手法としては、Morrey空間の場合はこれまでに用いた函数解析的な手法をそのまま用いることで可能であったが、弱Lp-空間の場合は、それまでに収束しないと思われていた無限次元空間に値をとる積分が、実は^*-弱位相について収束することを示すことが本質的である。これを示すために弱Lp-空間を一般化したLorentz空間の族を考え、これまでの研究で用いられたLp-Lq型の評価を実補間の理論を用いて精密化し、さらにLorentz空間の双対性を用いた。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1999 - 2000

【配分額】2,300千円 (直接経費: 2,300千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】09640164 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Navier-Stokes方程式 / 定常解 / 安定性 / 弱L^n-空間 / 外部領域 / Lorentz空間

【研究成果の概要】

流体の運動を記述するモデルであるNavier-Stokes方程式の外部領域における定常解の存在、一意性及び安定性を函数解析的な方法を用いて研究した。
これまでの研究では空間次元がnの場合にはn乗可積分函数の空間が用いられていたが、平成9年度の研究で、3次元空間においては3乗可積分な定常解が存在するのは特殊な場合に限り、従って一般にはより広い空間である弱L^3空間を考える必要があることを示した。また、全空間におけるNavier-Stokes方程式については、弱L^n空間より真に広いMorrey空間に属する小さい定常解が一意的に存在するための外力についての十分条件を与え、さらにこの定常解が弱L^n空間より真に広く、さらにRadon測度以外の超函数をも含む函数空間に属する小さい初期摂動を加えても安定であることを示した。
平成10年度には空間次元nが3以上のときに、弱L^n空間におけるNavier-Stokes外部問題を考え、外力が弱L^<n/2>空間に属する十分小さいポテンシャルの導関数として与えられるという条件の下で、弱L^n空間に属する小さい定常解が一意的に存在し、かつこの定常解は弱L^n空間に属する小さい初期摂動を加えても安定であることを示した。この結果はこれまでにしられているポテンシャル論的方法による結果よりもより一般的な外力に対して適用でき、さらに今まで函数解析的な方法では取り扱えなかった3次元の場合にも適用できる。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1997 - 1998

【配分額】1,900千円 (直接経費: 1,900千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】09440056 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ナビエ・ストークス方程式 / ソボレフ空間 / 補間空間論 / クーリエ変換 / 特異積分作用素 / ストークス作用素 / ローレンツ空間 / 外部問題 / ストークス方程式 / 応力テンソル / エネルギー不等式 / 安定性 / オイラー方程式 / 双線形作用素 / ハーディ空間 / BMO関数 / ベゾフ空間 / ソボレフ不等式 / 爆発解 / 斉次ソボレク空間 / L^r-空間 / 弱解の一意性 / 弱解の正則性 / 半線形放物形方程式 / 除去可能と特異点

【研究成果の概要】

Navier-Stokes方程式の解の安定性の解析にはStokes作用素Aに加えて,変数係数の低階の微分作用素を含んだ項Bを摂動として処理しなければならない.外部問題の場合,よく知られた半群生成の摂動論は役に立たない.何故ならば,作用素A+Bのスペクトルの存在範囲をAのそれを不変にする様に摂動させなければならないからである.その際,関数空間の選択に注意を払う必要がある.定常解の存在と安定性の問題は斉次Sobolev空間における考察でひと段落したものの,3次元外部領域の場合はnet forceがゼロであるという不自然な条件は依然そのままであった.これを克服するためにはStokes作用素が全単射であり,かつスケール不変則を満たすような新たな関数空間を見い出さねばならなかった.その試みとして,まずFourier変換,特異積分作用素が使える全空間R^nにおいてMorrey空間を実補間した空間を導入し,Navier-Stokes方程式を解くことに成功した.これまでは複素補間を用いて,Navier-Stokes方程式の強解(古典解)を構成したが、Riesz-Thorinの不等式に代表される様に,複素補間理論はシャープな補間不等式の係数が得られる反面,両立対の空間は広がらない.このことは,すべてのL^r(1<γ<∞)において線形化方程式(Stokes方程式)が可解である内部問題に関しては障害とならなかった.一方,実補間空間の利点は、両立対の空間からより広い空間が得られることであり,線形化方程式の可解性に制限のある外部問題に実補間空間理論を導入したことは,画期的な試みであった.応用として,Lorentz空間L^<p,q>(Ω)において外部定常解を構成し,更にnet forceの条件を仮定することなく,その安定性を示した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1997 - 2000

【配分額】13,600千円 (直接経費: 13,600千円)