【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】22340008 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

グレブナー基底 / 凸多面体 / 単項式イデアル / ファノ凸多面体 / 有限グラフ / 辺イデアル / 二項式辺イデアル / トーリックイデアル / edge ring / binomial edge ideal / Cameron--Walker graph / Ehrhart 多項式 / 有限半順序集合 / 順序凸多面体 / 鎖凸多面体 / 正則三角形分割 / 辺凸多面体 / 巡回凸多面体 / 正規凸多面体 / アルゴリズム / イニシャルイデアル / 根基イデアル / 準素分解

【研究成果の概要】

グレブナー基底の従来の研究を踏襲し、その現代的理論を発展させるとともに、グレブナー基底を発掘するための斬新なテクニックを開拓し、凸多面体の代数的組合せ論と可換代数における単項式イデアルの理論を著しく発展させることに成功した。特に、Gorenstein ファノ凸多面体の斬新な類を提唱し、有限グラフに付随する辺イデアルの正則性を探究するとともに、二項辺イデアルの概念を導入し、その基礎理論を樹立した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2010-04-01 - 2015-03-31

【配分額】15,860千円 (直接経費: 12,200千円、間接経費: 3,660千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】09440012 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

代数多様体 / アフィン空間 / ジャコビアン予想 / ホモロジー平面 / 有限グラフ / ツィスター空間 / Calabi-Yau多様体 / 位相的不変量 / 開代数曲面 / 群作用 / 組み合わせ論 / 自己同型写像 / 3次元多様体 / 平面アフィン曲線 / 次数最小埋め込み / 不変式 / 有限生成性 / アルゴリズム / Kontsevich不変量 / 強擬凸領域

【研究成果の概要】

研究代表者は研究分担者の増田佳代と協力して、アフィン空間上に作用する無限位数の自己同型写像が部分多様体を点毎に固定するとき、その自己同型写像と部分多様体の可能性を余次元が小さいときに研究した。その副産物として3次元アフィン空間の乗法群を用いた代数的特徴付けを得た。また、タタ研究所のR.V.Gurjarと協力して、ジャコビアン予想をアフィン空間からQ-ホモロジー平面に拡張して、対数的小平次元が1のときは一般化されたジャコビアン予想が成立することを示した。対数的小平次元が0,-∞のときも大半の場合に予想が成立する。この課題研究の期間において、研究代表者はこれまでの開代数曲面に関する結果をまとめた本を書き、アメリカ数学会から出版することになった。
日比孝之は有限グラフを研究し、関連して定義されるイデアルの性質を調べた。単体に付随する環のBetti数などを調べることによって、非常に豊富な情報が得られ、組み合わせ論、可環境論、代数幾何学などを結びつける強力な手法となってきている。
藤木明はHopf曲面上のツイスター空間のalgebraic reductionを研究して興味ある結果を得た。ツイスター空間は射影空間束に近いものであり、代数多様体と複素多様体の違いと相似性を明らかにできる。
並河良典は複素多様体の変形理論を使ってCalabi-Yau多様体に関する研究を進めた。また、高次元代数多様体の双有理写像として現れるflopを変形理論を通して再構成した。
村上順はThang T.Q.Le等と協力して、平行化された結び目に対するKontsevich不変量の性質を調べて、Kontsevich不変量を3次元多様体の不変量に拡張する際に重要な役割を果たす公式を得た。
柳川浩二はE.Ballicoと協力して、標数pの体上に定義されたCohen-Macaulay整域に関連して定まるPoincare列のh-vectorについて研究を行った。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1997 - 1999

【配分額】15,200千円 (直接経費: 15,200千円)