【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】17K05339 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Navier-Stokes / 非有界領域 / ancient solution / 周期解 / 概周期解 / Ap-weight / Navier-Stokes方程式 / Lorentz空間 / 時間周期解 / 特異積分 / ２次元h非有界領域 / 安定性 / Muchkenhoupuptクラス / 外部領域 / 定常解 / エネルギー不等式 / 解の一意性 / 函数空間 / 補間理論 / 解析学 / 関数方程式論 / 実関数論

【研究成果の概要】

２次元全空間上のNavier-Stokes方程式について、時間に依存する小さい外力がある場合について、小さいancient solutionの存在、一意性を示し。さらに解の初期摂動についての安定性についての安定性を示した。
ancient solutionは定常解はもとより、時間周期解、時間概周期解答を統一的に取り扱う概念である。有界領域では絵画指数的に減衰するので容易であるが、非有界領域では減衰が遅いところのに困難がある。この問題は３次元以上の全空間および外部領域では申請者によって既に解かれていたが、本年には２次元での考察を始めた。当面全空間の場合について考察を行って成果を得た。成果は査読付き専門誌に掲載された。
２次元では拡散効果が不十分であるから、この研究ではデータにある種の対称性を仮定し、さらに取り扱う関数空間も３次元以上で有効であったものが２次元の場合には使えないためAp-weightと呼ばれるクラスに属する重みのついた関数空間上で方程式を扱った。またGauss核をFourier multiplierとみなせ、これがAp-weightに属する重みのついて空間上で有界作用素となることを用いて結果を得た。
全空間での結果は外部領域を取り扱う際の基礎となるものである. 実際内部領域では重みがある場合と重みがない場合が本質的に差がないことを用いれば、既存の内部領域での結果を重みのある場合に書き換え、これと今回得られた全空間の結果を張り合わせることによりこの結果を外部領域に拡張できることが期待される。これは次年度以降に研究を行う。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2017-04-01 - 2023-03-31

【配分額】4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)

【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】25400185 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Navier-Stokes 方程式 / 2次元 / 定常解 / 安定性 / 対称性 / Navier-Stokes方程式 / 2次元領域 / 外部問題 / エネルギー不等式 / エネルギー法 / 解析的半群

【研究成果の概要】

重力の影響下での熱対流を記述するBoussinesq方程式を重みのついた空間で考察し、解の一意存在を確立したうえで解の漸近形を二次の項まで得た。
また、2次元全平面および外部領域における定常Navier-Stokes方程式に対し、領域、外力及び境界値に新しい対称性を導入し、この仮定をみたす十分小さい外力及び境界値に対して遠方で減衰する定常解の存在を示した。
さらに、より弱い対称性の仮定の下で、十分に小さい減少する定常解のL2空間に属する任意の初期摂動に対する大域的漸近安定性を示し、また各種のノルムによる収束の速度を求めた。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2013-04-01 - 2017-03-31

【配分額】4,810千円 (直接経費: 3,700千円、間接経費: 1,110千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】09440056 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ナビエ・ストークス方程式 / ソボレフ空間 / 補間空間論 / クーリエ変換 / 特異積分作用素 / ストークス作用素 / ローレンツ空間 / 外部問題 / ストークス方程式 / 応力テンソル / エネルギー不等式 / 安定性 / オイラー方程式 / 双線形作用素 / ハーディ空間 / BMO関数 / ベゾフ空間 / ソボレフ不等式 / 爆発解 / 斉次ソボレク空間 / L^r-空間 / 弱解の一意性 / 弱解の正則性 / 半線形放物形方程式 / 除去可能と特異点

【研究成果の概要】

Navier-Stokes方程式の解の安定性の解析にはStokes作用素Aに加えて,変数係数の低階の微分作用素を含んだ項Bを摂動として処理しなければならない.外部問題の場合,よく知られた半群生成の摂動論は役に立たない.何故ならば,作用素A+Bのスペクトルの存在範囲をAのそれを不変にする様に摂動させなければならないからである.その際,関数空間の選択に注意を払う必要がある.定常解の存在と安定性の問題は斉次Sobolev空間における考察でひと段落したものの,3次元外部領域の場合はnet forceがゼロであるという不自然な条件は依然そのままであった.これを克服するためにはStokes作用素が全単射であり,かつスケール不変則を満たすような新たな関数空間を見い出さねばならなかった.その試みとして,まずFourier変換,特異積分作用素が使える全空間R^nにおいてMorrey空間を実補間した空間を導入し,Navier-Stokes方程式を解くことに成功した.これまでは複素補間を用いて,Navier-Stokes方程式の強解(古典解)を構成したが、Riesz-Thorinの不等式に代表される様に,複素補間理論はシャープな補間不等式の係数が得られる反面,両立対の空間は広がらない.このことは,すべてのL^r(1<γ<∞)において線形化方程式(Stokes方程式)が可解である内部問題に関しては障害とならなかった.一方,実補間空間の利点は、両立対の空間からより広い空間が得られることであり,線形化方程式の可解性に制限のある外部問題に実補間空間理論を導入したことは,画期的な試みであった.応用として,Lorentz空間L^<p,q>(Ω)において外部定常解を構成し,更にnet forceの条件を仮定することなく,その安定性を示した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1997 - 2000

【配分額】13,600千円 (直接経費: 13,600千円)