【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】18340046 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

安定性 / 初期値問題 / 漸近挙動 / 渦 / 自由境界 / ナヴィエ・ストークス方程式 / 非有界領域 / 水面波

【研究成果の概要】

代表者宮川は,半空間での流れの研究の基礎になるべクトル場の分解定理の完全な証明を与えた.これは次年度以降に実施予定の半空間における流れの漸近展開の研究の出発点となるものであるが,従来の証明の記述は不完全なものであった.
分担者菱田は回転物体周囲の流れの初期値境界値問題について,線形化作用素のスペクトルを完全に決定し,さらにその結果を用いて元の初期値境界値問題の解の構成に成功した.この問題自身は,境界が有界な領域を扱っているが,無限遠での解の挙動の分析に基づく基礎的関数空間の設定が,非有界な境界をもつ領域での流れの研究に極めて重要な技術的手順を示唆する.すなわち本問題では定常解の空間無限遠での挙動が極めて特異であり,その結果として線形化方程式からより扱いやすい線形化作用素を抽出するという作業が必要になる.菱田の仕事はこの手順の注目すべき成功例であり,他の問題の処理に益するところが極めて大きいと期待できる.
分担者井口は表面張力と重力の効果を考慮した自由表面波の伝播問題を扱い,表面張力係数がある臨界数に極めて近い場合にいわゆる長波近似を実行して,近似方程式として標準的に用いられてきた浅水波方程式に無視できない補正が必要なことを指摘し,実際にその補正項を導出した.
分担者畑上は,交通流の流体モデルを用いて渋滞形成の解析を行った.多重車線と車線変更を考慮したモデルを導入し,生起するパターンの安定性を解析した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】15,590千円 (直接経費: 13,100千円、間接経費: 2,490千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】15340054 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ナビエ・ストークス方程式 / 初期値問題 / 自由表面 / 群対称性 / 安定性 / 渦糸 / 渦輪 / 特異積分 / パターン形成 / 対称性 / 水面波 / 漸近挙動 / Navier-Stokes方程式 / 自由境界問題 / 漸近形 / パターン形式

【研究成果の概要】

代表者宮川は,2次元と3次元の外部領域における非圧縮粘性流を扱い,流れの時間・空間減衰度と運動方程式の解の対称性の関係を明らかにした.特に2次元外部問題においてほぼ最終的な結果を得た.その研究の副産物として,2次元外部領域での非圧縮完全流体に関するダランベールの逆理と,対応する圧力場の可積分性との間の明確かつ密接な関係を見出した.この方向での3次元流の研究を現在進めている.分担者福本は,粘性渦の運動と形状変化を研究し,非局所誘導モデルを採用して特異摂動の手法をそれに適用し,渦糸や渦輪の位相的形状変化について考察し,渦の安定性に対して渦の曲率等の幾何学的性質がどのように寄与するかという問題に関して新しい知見を得た.分担者菱田は,回転物体の周囲の流れを初めて数学的に厳密に考察し,新しい特異積分作用素のクラスを発見してその詳しい解析を行い,その結果を駆使して,当該問題に対し,定常流と非定常流に関する新しい存在定理を証明した.同時にまた有限個の穴で結ばれた半空間での流れの問題を扱い,非定常流の存在について従来知られた結果を改良した.分担者井口は,気体の1次元運動方程式を考察し,流れの自由境界面の研究から得た知見を応用して,この方程式の新しい解法を見出し,それが従来の方法にくらべて物事の本質により迫るものであって,従ってより広い応用範囲を持つことを示した.この研究は気体の運動方程式を取り扱う際の本質的な難点がどこにあるかを明らかにしたもので,注目に値する.さらに井口は周期的な底をもつ浅い流れの自由表面の形状を,分岐理論を用いて分類した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2003 - 2005

【配分額】15,300千円 (直接経費: 15,300千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】08640181 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

双曲型保存系 / Navier-Stokes方程式 / 半線型熱方程式 / 初期値問題 / distribution / Morrey空間 / 安定性 / 自己相似

【研究成果の概要】

1.空間1次元における伝播速度無限大の2×2双曲型保存系の連続な大域解の一意性
空間1次元における2×2双曲型保存系は,一般には連続な解を持たず,いわゆる弱解の範囲にしか解を持たないことが知られている.この保存系が連続な大域解をただ一つ持つためには,伝播速度が有限の場合には,初期値がある種の単調性をみたすことが必要十分であることが知られているが,伝播速度が無限大の場合の条件は知られていなかった.この論文では伝播速度が無限大の場合には,上の単調性のみでは一般には解は一意的には定まらないことを示し,さらに解が一意的に定まるための,初期速度の増大度に関する必要十分条件を与えた.
2.全空間におけるNavier-Stokes方程式及び半線型熱方程式の初期値問題
全空間におけるNavier-Stokes方程式及び半線型熱方程式の初期値問題を,Radon速度にならないdistributionを含むような広い函数空間で考え,時間局所的な一意解,および時間大域的な一意解を持つための十分条件を考え,結果としてRadon速度にならないdistributionを初期値とする上の方程式の解が存在することを示した.また,適当なMorrey空間に属するNavier-Stokes方程式の定常解が十分に小さいとき,その定常解はもとのMorrey空間で安定であることを示した.応用として,Navier-Stokes方程式及び半線型熱方程式の,新たな自己相似解のクラスを構成した.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1996

【配分額】1,200千円 (直接経費: 1,200千円)