【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】12440045 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Oseen方程式 / 平行平板中の流れ / ストークス作用素 / 流れの安定性 / レゾルベント問題 / 非圧縮性粘性流体 / 圧縮性粘性流体 / 自由境界値問題 / 数学 / 基礎解析 / n-dim. Navier-Stokes equation / Stability / Ossen equation / Compressible fluid / 2 phase problem for the Stokes eq. / Ginzuburg-Landau-Maxwell eq. / Perfect wall conditon / Stokes eq. in the half space / Infinite layer domain / Ginzburg-Landau方程式 / 定常解の安定性 / Perfect wall condition / Stokes方程式 / オゼン方程式 / ストークス方程式 / 弾性体の方程式 / 2相問題 / 安定性 / 重み付き評価

【研究成果の概要】

1.無限遠方に流速がある場合の非圧縮性粘性流体の安定性に関して次の成果を得た.
(a)外部領域でのOseen方程式の定常問題をローレンツ空間で考察し,解の一意存在を示しさらに,解の評価が無限遠方の流速に依存しないことを示した.これを用いて非線形問題の定常解の存在と流速が0に収束にするときの定常解の弱位相での収束を示した.
(b)外部領域でのOseen semigroupの時間に関するdecay評価を無限遠方での流速に独立な形で求めた.これを応用して定常解の初期値に関する安定性を示した.これらの研究は空間時限が3次元以上の仮定のもとで行われた.
2.平行平板中の非圧縮性粘性流体の流れの安定性に関し次の成果を得た.
(a)ストークス作用素に対するレゾルベント問題を領域Ω=R^<n-1>×(0,1)で考えそのL^p理論(l<p<∞)を構築した,X_n方向が有限であることからλ=0もレゾルベント集合に入る事を示した.特にストークス半群は指数安定である事を示した.
(b)(a)の結果を用い平行平板中のクエット流やポアズイ流の初期値の摂動に関する安定性を示した.
3.圧縮性粘性流体の定常流とその安定性に関する数学的解析に関して次の事を示した.
(a)外力が空間変数に依存する場合の定常解を求め,その空間無限遠方での挙動を求めた.
(b)上記定常解からの摂動問題として非定常問題を捉え,初期値のH^3ノルムが小である場合に初期値問題を解いた.さらに対応する線形化問題の解のローレンツ空間での評価を求め,これを応用して非定常問題の解の定常解への時間無限での収束のオーダーを求めた.以上の解析は全空間で行った.
4.ストークス作用素に対するNeumann境界値問題の研究に関して次の結果を得た.
(a)レゾルベント問題を考えL^p(l<p<∞)空間での解の存在,一意性および評価を求めた.
(b)同様の手法を用いてストークス作用素の2相問題に対するレゾルベント問題のL^p(l<p<∞)空間での解の存在,一意性および評価を求めた,これらの研究はナヴィエ・ストークス方程式の自由境界値問題を半群の理論を用いて研究をするための出発点となる研究である.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2000 - 2003

【配分額】14,600千円 (直接経費: 14,600千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】09440056 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ナビエ・ストークス方程式 / ソボレフ空間 / 補間空間論 / クーリエ変換 / 特異積分作用素 / ストークス作用素 / ローレンツ空間 / 外部問題 / ストークス方程式 / 応力テンソル / エネルギー不等式 / 安定性 / オイラー方程式 / 双線形作用素 / ハーディ空間 / BMO関数 / ベゾフ空間 / ソボレフ不等式 / 爆発解 / 斉次ソボレク空間 / L^r-空間 / 弱解の一意性 / 弱解の正則性 / 半線形放物形方程式 / 除去可能と特異点

【研究成果の概要】

Navier-Stokes方程式の解の安定性の解析にはStokes作用素Aに加えて,変数係数の低階の微分作用素を含んだ項Bを摂動として処理しなければならない.外部問題の場合,よく知られた半群生成の摂動論は役に立たない.何故ならば,作用素A+Bのスペクトルの存在範囲をAのそれを不変にする様に摂動させなければならないからである.その際,関数空間の選択に注意を払う必要がある.定常解の存在と安定性の問題は斉次Sobolev空間における考察でひと段落したものの,3次元外部領域の場合はnet forceがゼロであるという不自然な条件は依然そのままであった.これを克服するためにはStokes作用素が全単射であり,かつスケール不変則を満たすような新たな関数空間を見い出さねばならなかった.その試みとして,まずFourier変換,特異積分作用素が使える全空間R^nにおいてMorrey空間を実補間した空間を導入し,Navier-Stokes方程式を解くことに成功した.これまでは複素補間を用いて,Navier-Stokes方程式の強解(古典解)を構成したが、Riesz-Thorinの不等式に代表される様に,複素補間理論はシャープな補間不等式の係数が得られる反面,両立対の空間は広がらない.このことは,すべてのL^r(1<γ<∞)において線形化方程式(Stokes方程式)が可解である内部問題に関しては障害とならなかった.一方,実補間空間の利点は、両立対の空間からより広い空間が得られることであり,線形化方程式の可解性に制限のある外部問題に実補間空間理論を導入したことは,画期的な試みであった.応用として,Lorentz空間L^<p,q>(Ω)において外部定常解を構成し,更にnet forceの条件を仮定することなく,その安定性を示した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1997 - 2000

【配分額】13,600千円 (直接経費: 13,600千円)