【研究分野】生体生命情報学

【研究領域課題番号】24500360 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

超離散 / 配列解析 / 遺伝子転写 / 離散系 / シミュレーション / 数理モデル / 遺伝子 / 転写 / セルオートマトン / 超離散系

【研究成果の概要】

ヒト細胞を用いたRNAPII (RNA polymerase II) 実体の運動情報やエピジェネティック修飾情報の数理解析の研究を行った。これまでの我々の研究では、時間分解能７.５分間隔で細胞実験を行っていたが、本研究課題ではより高い時間分解能の転写におけるRNAデータの取得を行った。さらに、転写ダイナミクスを制御しその運動にも影響を与える因子として、各種タンパク質結合情報とエピジェネティック修飾情報も取得した。これらの細胞実験のデータをもとに、データマイニングの技術を応用し、転写の運動・修飾情報を染色体上の数値データとしてパスプリファレンスを含めた数理解析を行うプログラムを開発した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2012-04-01 - 2015-03-31

【配分額】4,940千円 (直接経費: 3,800千円、間接経費: 1,140千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】21540210 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / セル・オートマトン / 超離散系 / 離散系 / セルオートマトン

【研究成果の概要】

連続可積分系の適当な離散化で得られる「離散可積分系」という特別な離散的力学系の対称性を考察することにより,その離散系と密接な関係を持つ「超離散可積分系」という特殊なセル・オートマトンの対称性を解明し,可積分なセル・オートマトンの代表的な例である「超離散KdV方程式」の新しい解法を発見した。更に,離散可積分系の分類を行い,様々な離散可積分系の間の関係を解明し,低次元の場合には,既知の離散可積分系と類似の幾何学的な構造をもつ新しい可積分系をいくつか構成することに成功した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2009 - 2011

【配分額】4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】21340034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

セルオートマトン / 超離散系 / 可積分系 / 箱玉系 / 有限体 / トロピカル曲線 / 特異値閉じ込め / トロピカル / ソリトン

【研究成果の概要】

超離散系とは連続的な方程式から極限操作によって導かれるセルオートマトン系である．可積分性を持つと考えられる超離散系を研究し，(1) 典型的な超離散可積分系である箱玉系の相関関数を求めた，(2)超離散KdV方程式において負のソリトンと呼ばれる特殊な解の構造を明らかにした，(3)超離散パンルヴェ系の解を符号付超離散化により求め，分割数に関する一連の公式を得た，(4)有限体上の可積分系はAGR(almost good reduction)と呼ぶ性質を持つことを示した．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2009-04-01 - 2013-03-31

【配分額】15,730千円 (直接経費: 12,100千円、間接経費: 3,630千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】16204009 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

離散可積分系 / 超離散可積分系 / セルオートマトン / 箱玉系 / 量子代数 / 可解格子模型 / トロピカル幾何 / 戸田方程式 / 可積分系 / 離散系 / 超離散系 / クリスタル / 逆超離散化 / セルオートマン

【研究成果の概要】

変数が離散的な方程式,量子力学的な格子模型,とりうる値まで離散的な力学系であるセルオートマトン(超離散系)のうちで,「可積分系」と呼ばれ,厳密解や統計的性質を解析的に表現できるものがある.本研究はこうした離散可積分系の,数理構造を研究し,特に「箱玉系」と呼ばれる超離散系の数理構造を明確にした.箱玉系は箱から箱へ玉を移動させる一種のゲームとして実現される力学系であるが,(i)ソリトン解をもつ,(ii)十分にたくさんの保存量をもつ,(iii)初期値問題が解ける,など,ソリトン方程式に良く似た性質を持っている.また,(iv)ソリトンの散乱がYang-Baxter関係式を満たす,(v)状態空間をある量子代数のq→0での表現(crystal)とみなすことができ,時間発展規則を表現のinter twinerで記述できる,など,組み合せ論的な性質も持つ.この系に対して,特に初期値問題を初等的な組合せ論的手法,超楕円函数に付随するヤコビ多様体上の線形流への変換,KKR全単射による解法,KdV方程式の超離散化を用いる手法など様々な手法で解くことによって,他の数学的な対象(組合せ論的対象,ワイル群,表現論など)との関係が明らかになった.たとえば,一般化された箱玉系の保存量は経路による表現を持つが,経路を決定する作用は一般化されたワイル群の作用と考えることもできる.また,可解格子模型との関係では,転送行列の固有値が箱玉系の基本周期を与えることや,ベーテ仮設方程式のストリング仮説が,箱玉系の保存量によって特徴づけられることを示した.このほかにも,量子系の相関関数や,超離散系の基本的な問題,それらの交通流などへの応用にも大きな進展があった.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2004 - 2007

【配分額】41,600千円 (直接経費: 32,000千円、間接経費: 9,600千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】12440046 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

超離散系 / 可積分系 / セルオートマトン / 可解格子構造 / クリスタル / トロピカル / 可解格子模型 / 箱玉系 / 超散系

【研究成果の概要】

1.周期箱玉系(A_1^<(1)>型)の基本周期の系のサイズN→∞での漸近的な振る舞いを決定した。周期箱玉系の「可積分性」を反映し、その軌道は系の位相空間における体積(exp[N])よりもはるかに小さな領域に限定されている。最大の基本周期は(exp[N^<1/2>])程度であるが、ほとんどすべての初期値に対して、基本周期はexp[(log N)^2]以下であることを証明した。
2.affine Lie代数D_n^<(1)>に対する(BerensteinとKazhdanにより提唱された意味での)幾何学的クリスタル(geometric crystal)を構成した。スペクトルパラメータを含む行列による実現に基づいて、幾何学的クリスタルのテンソル積をintertwineする双有理変換-トロピカルR行列--を具体的に構成し、その唯一性を証明した。トロピカルR行列は幾何学的Kashiwara operatorsと可換であり、Yang-Baxter関係式を満たす。それは加法の逆演算を持たず、超離散系のクリスタルに対する組み合わせ論的R行列の局所線形方程式を生み出すことがわかった。
3.B_n^<(1)>,D_n^<(1)>,A_<2n>^<(2)>およびD_<n+1>^<(2)>に対する組み合わせ論的R行列を構成した。この組み合わせ論的R行列をボルツマンウエイトとするクリスタル格子における、ソリトンの散乱則をワイル群の作用として表現した。さらに、半無限クリスタル格子系に対して分配関数を考え逆散乱法の箱玉系版と呼ぶにふさわしいと思われるアプローチ(散乱データ,順,逆散乱マップ等)がクリスタルで定式化できることを示した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2000 - 2003

【配分額】13,600千円 (直接経費: 13,600千円)