【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】19540165 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非局所微分方程式 / 畳込み方程式 / 代数解析学 / 整函数 / 演算子法 / 超局所解析学 / 偏微分方程式 / 微分・差分方程式 / 無限階微分方程式 / 擬微分作用素

【研究成果の概要】

有界超函数および周期性をもつ超函数の層を定義し、 周期的な係数を持つ微分方程式に対し、将来において有界な解があれば周期解が存在する、というMassera型の定理を超函数の枠組みで定式化し、証明した。
さらに、超幾何函数を初期値とするある種のフックス型の微分方程式を考察することにより、多変数の特殊函数を得ることができた。
次に、正則自己被覆を持つ無限型リーマン面および, 正則自己被覆から導かれるTeichmuller空間上の正則写像の力学系に関して研究した。
そして、Z^Nの、Cuntz環O_2への作用がRholinの性質を持つこと、およびそれらが互いにcocycle conjugateであることを示した。
また、未だ投稿中ではあるが、非局所擬微分作用素に対し可逆性定理を証明し、これを用いることにより非局所擬微分方程式の複素領域における可解性および解の解析接続定理を証明した。さらに、定数係数の場合に解を具体的に構成する公式を与えた。また、特に、微分・差分方程式に対して、演算子法公式を得ることができた。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2007 - 2008

【配分額】4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】17540147 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

層の超局所理論 / 擬微分方程式 / 無限階微分方程式 / 演算子法 / 畳込み方程式 / 微分・差分方程式 / 偏微分方程式 / 代数解析学 / 非局所微分方程式 / 擬微分作用素

【研究成果の概要】

本科学研究費による研究は交付申請書および研究計画書に記載した以下の3つの目標に従って進められた:
[1]非局所擬微分方程式の層の超局所解析的研究。
[2]解の構成と演算子法、および解空間の研究。
[3]非局所擬微分方程式論による微分差分方程式の代数解析的研究。
先ず[1]については、局所擬微分作用素の一般理論を、ファイバーバンドル上の導来圏における佐藤・Fourier変換を底空間にずれを持つ場合に拡張し、これを複素多様体上の余接バンドル上の正則微分形式に対して適用することによって非局所擬微分作用素の複体を得、そのコホモロジーをとることで非局所擬微分作用素の層を定義した。このように関手的に考えることにより非局所擬微分作用素同士の合成を自然に定式化できた。さらに、非局所微分作用素の議論を更にすすめ、1点における正則関数の茎に作用する擬微分作用素を定式化することができた。具体的にはその表象の、整関数としての指数型が、点が考えている点に近づくとともに0に近づくような無限階擬微分作用素として特徴づけられるが、このような作用素のファイバー方向への超局所化を考えることにより、上記と同様の議論を経て、1点における無限階擬微分作用素を定義した。
さらに、[2],[3]については、引き続き研究中である。
本研究ではこれら以外に、プロクシメイト指数とセミノルムに関する整函数の空間に作用する連続線型作用素を、無限階微分作用素として特徴付けることができた。これは、研究代表者による、正則函数の層の連続自己準同型の、局所無限階微分作用素による特徴付けに対する結果であり、大域的な場合にも同様の特徴付けが成り立つことを示したものである。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2005 - 2006

【配分額】3,400千円 (直接経費: 3,400千円)