【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】15634005 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

逆問題 / 非適切問題 / 応用逆問題 / 応用解析 / 数値解析 / 材料工学 / 医用工学 / 断層撮影法

【研究成果の概要】

本課題研究は、逆問題の分野で特定領域申請を将来行なうことの可否・妥当性に対する調査を行なうことが目的であった。結論は、極めて近未来に逆問題解析に関して特定領域申請を行ない、理学・工学・医学の分野横断的な研究発展を目指すことが重要と考えられる。
応用逆問題は、非破壊検査・医用CT・各種断層撮影と極めて多岐にわたるものである。そしてその研究進展には、これまでの他の計算工学など以上に、最近の数学・数値解析の諸結果の効率的な反映が不可欠と考えられる。殆どの逆問題は数学的にはHadamardの意味での非適切問題(ill-posed problem)であり、通常の意味での近似の適用が不可能である。この事実は経験的に多くの分野で知られており、逆問題の解析に対して物理・工学・医学の各分野では、それぞれの分野で固有の先験情報を考慮することによって非適切性の排除を試みている。しかしながら、これまでの研究の多くは、個別論に埋没したアドホックなケースも多く、さらに数学的には誤った理論を誤用している場合も見られる。このような問題を解決して研究の一層の進展を図るには、分野横断的なブレークスルーを図り、さらに数学の視点から先験情報の構造を解析することが有効であると考えられる。
我が国においては、学問においても縦割り的な様相が強く、複数の分野を横断的に纏めた研究を行なうためには、現在の枠組みでは特定領域の制度を活用することが合理的であると考えられる。さらに、分担者による各学会の逆問題解析研究者の意見収集では、応用逆問題に関しては分野横断的に研究を行なえるだけの個別の実績が有ると判断される。
さらに、我が国の科学技術戦略として、組織規模まで同定できる医用断層撮影技術や地雷探査等の戦後処理技術の確立が議論されているが、これらの技術革新は応用逆問題の適用例であり、逆問題解析の研究レベルの向上は我が国の近未来の方針とも合致するものと判断される。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2003

【配分額】2,700千円 (直接経費: 2,700千円)

【研究分野】広領域

【研究領域課題番号】07309021 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数値解析 / 非適切問題 / 逆問題 / 解の一意性 / 解の安定性 / 非適切問題(ill-posed problems) / 適切問題(well-posed problems) / 断層撮影法 / システムの制御問題 / 非適切問題の適切クラス / 逆問題解析 / 逆問題の数値計算 / 条件安定評価 / 数値計算アルゴリズム / 弾性体逆問題 / 欠陥同定問題 / 数理工学

【研究成果の概要】

逆問題を中心とする非適切問題についての研究を行った。ここで言う非適切問題は、Hadamardの意味でのIll-posed Problemsであり、微分方程式で記述されたモデルを考えた場合特に、与えられたデータから解への対応が不連続であるか弱い意味での連続性しか示されないものを意味する。これは数値解析の立場に立てば、対象とする問題に対する数値シミュレーションにおいて安定な数値解の構成が困難であり、ひいては信頼性のある数値計算が困難であることを意味する。工学においては非破壊検査などに代表される種々の逆問題の解析がこの近年精力的に行われているが、これらの多くはHadamardの意味では非適切な問題であり、数値解析においては上述の通りの困難さが伴う。
この様な背景にあって、本研究では非適切問題に対して安定した数値解を得るための方法を、特に理論面から研究した。本研究の分担者の山本昌宏のこれまでの研究によって幾つかの逆問題では解の一意性が示ざれれば函数解析の枠組みから弱い意味での連続性が示されることが知られているので、本研究では数値解析以前の問題として「解の一意性」を本総合研究の重要テーマの一つと位置づけて研究を行った。これに対しては分担者の久保雅義によって顕著な成果が得られた。またれらの研究と並行して、代表者と分担者で様々な視点から逆問題の数値解析の研究を行い、逆問題の数値解析においては正則化法・フィルター法・多倍長計算法などが有効であることが本研究によって分かった。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1995 - 1997

【配分額】2,400千円 (直接経費: 2,400千円)